By UNIVERSIDAD SAN JOSÉ SEDE SAN RAMON Matemática I Proyecto final del curso Funciones Profesor: Carlos Castillo Alumno José Luis Campos Alf Fecha: 24 de agosto de 201 0 p nvestigar los siguientes conceptos 1) Conceptos básicos: Relación: toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: pero a los números -4 y -1 no les corresponden elementos en Y.
Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y. Función: es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Dominio: es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3×2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Asi el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de -2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida. Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.
Codominio: el codominio o contradominio (también denominado conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa func final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el onjunto que participa en esa función, y se denota o o Sea la imagen de una función, entonces. Ejemplo [editar] Para una función Definida como una función cuadrática: , o el equivalente, El codominio de es, pero siempre toma un valor positivo. Por lo tanto, la imagen de es el conjunto; por ejemplo, el intervalo [O, m). ?mbito: El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función. Ejemplo Identificar dominio y rango de la función Veamos: Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función Imagen: (conocida también como campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la fu denotar como , o bien y 30F formalmente está definida formalmente está definida por: Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función.
Esto es, si es una función, entonces la imagen del elemento es el elemento Pre imagen: las preimágenes son los valores que toma la variable independiente. Ejemplo: Un carpintero gasta $350 por cada silla que haga más un monto fijo de $2. 000 por día ¿cuánto gastará si hace 2 sillas por día? ¿Cuánto gastará SI hace 4, 6 u 8 sillas por día? ara este ejemplo, x representa cada silla y f(x) el costo de fabricarla, lo cual significa que el costo es igual a multiplicar 350 por cada silla y sumarle el gasto fijo. Es decir: f(X) = 350X + 2. 00 por lo que el valor de la variable independiente x para la primera pregunta es 2. Para encontrar la respuesta sustituimos el valor de dicha variable en el criterio de la función. f(2) = 350 • 2 + 2. 000 f(2) 700 + 2. 000 f(2) 2. 700 Entonces si hace solamente 2 sillas en un día, gastaría $2. 700 en hacerlas. De esto podemos decir que 2 es la preimagen de 2. 700. Grafico de una función: Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano XxY.
Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos de producto cartesiano XxY. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente el conjunto imagen.
Si la función es continua, entonces la gráfica formará una linea recta o curva. En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes. El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación.
Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir vanas funciones que engan la misma, pero con dominios y codominios diferentes 2) Definir la función lineal (formula de pendiente – intersección con el eje) Función lineal: En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: representación en el plano cartesiano es una linea recta.
Esta funcion se puede escribir como: f(x) mx + b Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte e la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo. Algunos autores llaman función lineal a aquella con b O de la forma: f(x) – mx Mientras que llaman función afin a la que tiene la forma: f(x) = mx b Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.
Una función lineal de una única variable dependiente x es de la Y = mx + b Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x, y. En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes: En esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y 2.
En la ecuación: la pendiente de la recta es el parámetro m – -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unida cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es eny = 5, dado que el valor de b 5. En una recta el valor de m se corresponde al ángulo e de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión: m = tane Intersección con el eje: La Intersección de una recta son los puntos donde la recta intersecta, o cruza, los ejes horizontal y vertical.
La recta mostrada en la gráfica interseca a los dos ejes de coordenadas. El punto donde la recta cruza el eje x se llama [intersección en x]. El punto [intersección en y] es donde la recta cruza el eje y. En la siguiente imagen se observa que la intersección en y ocurre cuando x = 0, y la intersección en x ocurre cuando y = O. Determinar el criterio de una función lineal a partir de dos puntos: Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,5) ( 2,7) 3) Definir la función cuadrática.
Función Cuadrática: Diremos que una función cuadrática tiene la siguiente forma: Con «a»,»b»,»c» enteros y o. 7 0 Si el coeficiente «a» fuera c ón pasaría de una función siguientes características: 1. El dominio es el conjunto de los números reales. 2. Son continuas en todo su dominio. 3. Siempre cortan al eje Y en el punto (O, c). 4. Cortarán al eje X (en uno o dos puntos) o no, dependiendo de las soluciones de la ecuación ax2+ bx + c = O. . Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba y si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo. . Cuanto mayor sea I al, más estilizada es la parábola. 7. Tienen un vértice, punto donde la función alcanza un mínimo (a > 0) o un máximo(a< 0). 8. Tiene un eje de simetría que es la recta vertical que pasa por el vértice. 9. Si a > O, la función es creciente para valores de x a la derecha del vértice y decreciente para valores a la izquierda del vértice. 10. Si a 0, la función es creciente para valores de x a la izquierda del vértice y decreciente para valores a la derecha del vértice. 1.
Si a > O es convexa y si a < O es cóncava Concavidad: La concavidad nos indica si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo sus ramas, si el coeficiente "a" es mayor que cero, la parábola abre hacia arriba, si el coeficiente "a" es menor que cero, la parábola abre hacia abajo. Veamos la representación gráfica de las siguientes funciones: Cortes con los ejes: RAICES: Las raíces de una f ática son los valores de x 80F cuando la función es igual as palabras son función cuadrática son los valores de x cuando la función es igual a cero.
En otras palabras son los valores de x donde la parábola nterseca el eje x, también puedes encontrar las raíces con el nombre de soluciones o ceros. Generalmente para encontrar las raíces, podemos factorizar la función o bien utilizar la fórmula de Baskara, que tiene la siguiente forma. Buscaremos las raíces de la función Las soluciones de la ecuación cuadrática serán x = CORTE CON EL EJE y: El corte con el eje y está determinado por el coeficiente «c», el punto de intersección será el punto (0, c). Vértice: El vértice es un punto de la parábola máximo o mínimo en la función.
Diremos que el vértice es máximo si la parábola tiene oncavidad hacia abajo y diremos que el vértice es mínimo siempre y cuando la parábola tenga concavidad hacia arriba. La fórmula para encontrar el vértice es la siguiente: v=0 Eje de simetría: El eje de simetría es una recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, por tanto es única y dividirá en dos partes iguales a la parábola como una simetría axial. El eje de simetría se representa por la recta x = -b/2a. Monotonía: Puede caracterizarse com to de nuestros ojos cuando recorremos el grá ión de izquierda a función de izquierda a derecha.
Su evaluación permite determinar en la gráfica) puntos conocidos como extremos, donde la función cambia su monotonía, ha dejado de crecer y aun no está decreciendo, o viceversa.. La monotonía puede analizarse tanto para intervalos como para puntos específicos de una función dada. Dominio: Como con cualquier función, el dominio de función cuadrática f(x) es el conjunto de los valores de x para los cuales la función está definida, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f). Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros como su dominio: cualquier x es una entrada legítima.
El rango esta restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo). Grafica: Las gráficas de las funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre «hacia arriba»), y cuando el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre «hacia abajo»). 0 DF 10
