By 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS y=sen x TE Las sumas parciales aproximaciones cada mejores a una funció 86 de una serie de Tay uand r dan Las sucesiones infinitas y las series se trataron brevemente en la Presentación preliminar del cálculo en relación con las paradojas de Zenón y la representación decimal de los números. La importancia en el cálculo radica en la idea de Newton de representar las funciones como sumas de series infinitas. Por ejemplo, al determinar áreas, con frecuencia integraba una función, pero primero la expresaba como una serie y luego integraba cada uno e los términos de la serie.
Esta idea se trata en la sección 11. 10 con objeto de integrar fun2 ciones como eXx . (Recuerde que esto aún no ha sido hecho). Muchas de las funciones que surgen en la física matemática y en la química matemática, como relatividad especial y el electromagnetismo, analizan fenómenos reemplazando una función con los primeros términos en la serie que la representa. 674 11. 1 SUCESIONES Se puede considerar que una sucesión es una lista de números escritos en un orden definido: al, a2, a3, a4, El número al recibe el nombre de primer término, a2 es el egundo término y, en general, an es el n-ésimo término.
Aquí se trata exclusivamente con sucesiones infinitas, por lo que cada término an tiene un sucesor anel . Observe que para todo entero positivo n hay un número correspondiente an, por lo que una sucesión se puede definir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Por lo regular, se escribe an en lugar de la notación de función f(n) para el valor de la función en el número n. NOTACION La sucesión {al, a2, a3, a runo 1 . también se denota mediante n definir dando una EJEMPLO 1 Algunas sucesi 2 DF 186 fórmula para el término la sucesión.
Observe que la n no tiene que empezar en 1. nel Xihnel cos ano XIhn? 1 nC11 3 DF 186 multiplicar por una potencia de’ XI En el ejemplo l(b) el factor XI n significa que empieza con un término negativo. Como aquí se busca iniciar con un término positivo, se usa’ XI nX1, o bien,’ XI nel. Por lo tanto, a n [I’XI nX1 EJEMPLO 3 En este caso hay algunas sucesiones que no tienen una ecuación que las defina en forma simple. (a) La sucesiónpn, donde pn es la población mundial el uno de enero del año n. ) Si an es el n-ésimo dígito en la expansión decimal del número e, entonce*n es una sucesión bien definida cuyos primeros términos son (c) Las condiciones siguientes definen en forma recursiva la sucesión de Fibonacccf n fin 1 fn fnxl e fnx2 n CII ny3 Cada uno de los términos es la suma de los dos anteriores. Los primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, Esta sucesión surgió cuando el matemático italiano del Siglo XII a quien se conoce como Fibonacci, resolvió un problema que se relacionaba con la cría de 4 186 ejercido 71). como en la figura 1, o trazando la gráfica como en a figura 2.
Observe que, como una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, su gráfica consta de puntos aislados con coordenadas FIGURA 1 1, al De acuerdo con la figura 1 0 la 2, parece que los términos de la sucesion an nn el se aproximan a 1 cuando n se incrementa. En efecto, la diferencia 7 5 DF 186 se dice que la sucesión converge (o que es convergente). De lo contrario se dice que la sucesión diverge (o es divergente). En la figura 3 se ilustra la definición 1 mostrando las gráficas de las dos sucesiones que tienen como límite a L.
FIGURA 3 Gráficas de las dos sucesiones lím anz L na versión más exacta de la definición 1 es como se indica a U continuación. 2 DF 186 DEFINICIÓN una sucesión mite a LV se escribe N. Esta imagen debe ser válida, no importa qué tan pequeño se haya escogido n, pero por lo regular un n más pequeño requiere una N más grande. Y=L+E FIGURA 5 1234 678 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La comparación de la definición 2 y la definición 2. 6. 7 señala que la única diferencia entre lím nl Q an D Ly lím XI Q L es que se requiere que n sea entero.
En estos términos está el siguiente teorema, el cual se ilustra en la figura 6. 3 TEOREMA Si lím x IQ Ly fh Cl an, cuando n es un entero, entonces lím nl Q an DF 186 estudian en la sección 2. 3 también se cumplen para los límites de sucesiones y sus demostraciones son similares. LEYES DE LOS LÍMITES PARA LAS SUCESIONES. SI an y. son sucesiones convergentes y c es una constante, [m’ a n e bri C] lím an e lím bn nlQ Km’ a n X bri a n X lím bn Irm ca n C] c Ilm an l[mcüc líma n bn’ nlp 0 lím a n «lím bn 8 DF 186 método es similar al que se presenta en la sección 2. Se divide tanto el numerador como el denominador entre la potencia más alta de n y luego se aplican las leyes de los límites. ll•m n lím Esto demuestra que la conjetura que se hizo antes a partir de las figuras 1 y 2 era correcta. lim 1 le nIQ lim 1 2 Ilm g DF 186 forma infinita, an no se aproxima a ningún número. Por lo tanto, no existe; es decir, la sucesión,’ X Tn es divergente. 680 CAPITULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS EJEMPLO 7 Evaluar lím La gráfica de la sucesión del ejemplo 7 se muestra en la figura 9 y apoya la respuesta. si es que existe. SOLUCIÓN Xin
