By Solución de problemas matemáticos gy YansonAndres cbenpanR 14, 2016 90 pagos Talleres de Formacion Matem atica Maracaibo, 26 al 31 de julio de 2004 PACE 1 orga to View nut*ge Resoluci on de Problemas Matem ‘ aticos nadador o el pianista. Con el fin de que la obra sea de utilidad para el mayor nu’mero posible de estudiantes se ha procurado que los problemas analizados no requieran de conocimientos especializados. Sin embargo las mismas t’ ecnicas y estra- tegias que ejemplificamos con problemas elementales se aplican a los m ‘ as avanzados. Indice general Introducci ‘ on 2 OF go nteligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuesti’ on que reclama ser aclarada. Todos vivimos resolviendo problemas: desde el m » as b» asico de asegurar la cotldiana subsistencia, comu ‘n a todos los seres vivos, hasta los m’ as com- plejos desaf’ IOS planteados por la ciencia y la tecnolog• la. La importancia de la actividad de resoluci on de problemas es evidente; en definitiva, todo el progreso cient ‘ fico y tecnol ogico, el bienestar y hasta la supervivencia de la especie humana dependen de esta habilidad.
No es de extran-ar por lo tanto que la misma se haya convertido en un uevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atenci’ on de psic » ologos, ingenieros, matem » aticos, especialistas en inteligencla artificial y cient’ Ificos de todas las disciplinas. En el campo educativo se ha reconocido ampliamente su importancia. y en muchas uni- versidades el desarrollo de la creatividad y de la habilidad para resolver problemas es una parte integral del curriculum. Pero lamentablemente todav’ la es muy comu’n que se expongan ante el alumno los productos y resultados de la resoluci’ on de problemas, pero no el proceso mismo.
Si examinamos un libro de texto con problemas resueltos de atem atica, encontraremos por lo general soluciones tersas y acabadas. Rara vez el autor incluye comentarios sobre los intentos fallidos de soluci on, los casos particulares examinados antes de llegar a la soluci ‘ on general o los refinamientos real go casos particulares examinados antes de llegar a la soluci’ on general o los refinamientos realizados a una primera soluci’on no totalmente satisfactoria. Estos y otros elementos del proceso son cuidadosamente elimlnados y lo que se nos presenta es el producto final, conciso y elegante.
Hay muchas posibles razones para que esto sea as • l: un estilo de exposici’on matem• atica onsa- grado por la tradici ‘ on, criterios est ‘ eticos de concisi ‘ on y elegancia, razones economicas de las editoriales, etc. Pero la consecuencia es que el estudiante obtiene una visi » on falseada de lo que es resolver problemas y de la actividad matematica en general. Si tiene la suerte de tener un profesor que entienda y valore el proceso de resolver problemas entonces las actividades de aula suplir’ an las deficiencias del texto.
Pero si no es as ‘ I y el profesor sigue al libro al pie de la letra, al enfrentarse al primer fracaso el estudiante terminar’ a frustrado, perder» a la confianza n s • I mismo y creer • a que la resoluci- on de problemas es una acti- vidad incomprensible, accesible solamente a unos pocos superdotados. Nuestro principal objetivo en esta obra es ayudar al lector a desarrollar su habilidad para resolver problemas. Es bueno dejar claro desde el principio que el desarrollo de esta habilidad es el resultado del trabajo personal, de la practica adquirida resolviendo problemas y de la reflexi ‘ on sobre esa pr ‘ actica.
No es posible convertirse en un solucionista experto mediante la mera I sobre esa pr’ actica. No es posible convertirse en un solucionista xperto mediante la mera lectura pasiva de un libro, del mismo modo que no es posible convertirse en un buen nadador o pianista simplemente leyendo. Sin embargo el conocimiento de las t’ ecnicas apropiadas y de los errores t’ Ipicos que es preciso evitar puede ser tan u ‘til para el solucionista como lo es para el nadador o el pianista.
Cap ‘ Itulo Principios Generales «La principal raz’ on de existir del matem atico es re- solver problemas, y por lo tanto en lo que realmente consisten las matem aticas es en problemas y solu- ciones. » paul R. Hamos [14] s OF go En este cap ‘ Itulo nos ocu os m ‘ etodos y principios roblemas est ‘a estrechamente relaciona- da con la creatividad, que algunos definen precisamente como la habilidad para generar nuevas ideas y solucionar todo tipo de problemas y desaf• los.
La especie humana es creativa por naturaleza. Todo ser humano nace con un gran potencial para la creaci• on, pero mientras algunos lo aprovechan al m ‘ aximo, otros casi no lo utilizan. Sin embargo la creatividad, al igual que cualquier otra habilidad humana, puede desarrollarse a trav ‘ es de la pr’ actica y el entrenamiento adecuado. Lamentablemente tambi• en puede atrofiarse, si no se ejercita adecuadamente. El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y convergente.
El primero consiste en la habilidad para pensar de manera original y elabo- rar nuevas ideas, mientras que el segundo se relaciona con la capacidad cr’ ‘tica y ogica para evaluar alternativas y seleccionar la m» as apropiada. Evidentemente ambos tipos de pensamiento juegan un rol fundamental en la resoluci ‘ on de problemas. Tres aspectos de la creatividad han recibido mucha atenci ‘ on: el proceso creativo, las caracter• Isticas de la personalidad creativa, y las circunstancias que posibilitan o favorecen el acto creativo.
Como consecuencia de estos es- tudios se han desarrollado t ‘ ecnicas y m ‘ etodos generales dirigidos a desarro- llar el potencial creativo. En esta obra nos concentraremos en las ‘ ecnicas y estrategias espec ‘ Ificas que han demostrado ser m’s u ‘tiles para la resolu- cion de probl 6 OF go y estrategias espec Ificas que han demostrado ser m’s u «tiles para la resolu- cion de problemas matem ‘ aticos. Sin embargo haremos a continuaci ‘ on una breve resen -a de algunos de los m ‘ etodos m as generales, remitiendo al lector interesado a la bibliograf’ la correspondiente. . 1. 1. Invertir el problema Cada concepto tiene uno contrario y la oposici on entre ellos genera una tension favorable al hecho creativo. Esta idea, que tiene profundas ra’ Ices tanto en la filosof’ la oriental como en la occidental, se refleja en la sabldur la popular en aforismos tales como: «Para saber mandar hay que aprender a obedecer o «Para ser un buen orador hay que saber escuchar’. Como ejemplo de esta t’ ecnica supongamos que deseamos disen-ar un zapato que sea muy c’ omodo.
El problema inverso ser’ la disen-ar un zapato inc’omodo. Pero el an ‘ alisis de este problema nos llevar’ a seguramente a escubrir los factores que causan incomodidad, y al evitarlos habremos dado un buen paso hacia la soluci on del problema original. vea [38]. 1. 1. 2. Pensamiento lateral Consiste en explorar alternativas inusuales o incluso aparentemente ab- surdas para resolver un problema. En otras palabras: evitar los caminos trillados, intentar lo que nadie ha intentado, ensayar percepciones y puntos de vista diferentes. Vea 1 . 1. 3.
Principio de discontinuidad La rutina suprime los est sarios para el acto rutina suprime los est mulos necesarios para el acto creativo, por lo tanto si experimenta un bloqueo temporal de su capacidad readora in- terrumpa su programa cotidiano de actividades y haga algo diferente a lo acostumbrado. Vaya a dar un paseo por sitios que no conoce, ensaye una nueva receta de cocina, escuche mu ‘ sica diferente a la que escucha habi- tualmente, lea un libro que no ten ‘la pensado leer, asista a algu’n tipo de espect aculo diferente a sus favoritos. . 1. 4. Imitaci’on La mayor parte de los grandes artistas comienzan imitando a sus maes- tros. M ‘ as au’n se ha llegado a afirmar, en parte en broma y en parte en serio, que «la originalidad no es otra cosa que un plagio no detectado». En cual- quier caso es claro ue la imitaci• on puede ser un primer paso v’ alido hacia la originalidad. En particular observe y no vacile en imitar las t ecnicas de resolucion de problemas empleadas con ‘ exito por sus compan-eros, maestros o colegas. 1 . 1. 5.
Tormenta de cerebros (Brainstorming) Es una t’ ecnica desarrollada en el mundo de la publicidad, en el cual el ‘ exito depende de la generaci’on de nuevas y brillantes ideas. Para ello se reu’ne un grupo de personas y se les invita a expresar todas las ideas que se les ocurran en relaci’ on a un problema o tema planteado, sin importar lo estrafalarias o rid ‘ Lulas que parezcan. La evaluacl on y la cr- Itica se posponen, esperando crear un clima estimulante que favorezca el surgimiento la cr» ‘tica se posponen, esperando crear un clima estimulante que favorezca el surgimiento de algunas ideas realmente u ‘tiles.
La utilidad de esta t’ ecnica es dudosa fuera de ciertos campos o sltuaciones muy espec Ificas. 1 . 1. 6. Mapas mentales Es una t’ ecnica desarrollada por Tony Buzan (vea [6] y [7]) que trata de representar en forma gr’ afica el car’ acter asociativo de la mente humana. Se comienza con la idea principal ubicada en el centro de la hoja y alrededor de ella se van colocando las deas asocladas y sus respectivos v’ Inculos. l_Jtl- ‘izando diversos colores y s’ Imbolos esta t’ ecnica puede llegar a ser muy u ‘til para organizar las ideas que van surgiendo en torno a un problema. . 1. 7. Programaci’ on neurolingu’ ‘Istica (PNL) Tambi ‘en conocida como «la ciencia de la experiencia subjetriva», es un conjunto de t’ ecnicas muy desarrolladas a trav es de las cuales se trata de caracterizar el contexto (f’ asico, fisiol’ ogico, psicol’ ogico, ambiental, etc. ) en el cual somos m • as creativos, para luego reproducirlo a voluntad. Los prac- ticantes de la PNC han incluso «modelado» el comportamiento de algunos personajes famosos, tales como Walt Disney, para tratar de aprovechar sus modos y procedimientos m’ as creativos. Vea 1 . 1. 8.
Factores afectivos La resoluci’ on de problemas no es un asunto puramente intelectual. Las emociones ar el deseo de resolver un problema, tienen tambi ‘e portancia. La incapacidad resolver un problema, tienen tambi’ en una gran importancia. La incapacidad que manifiestan algunos alumnos para resolver incluso el ejercicio m ‘as sencillo no es producto por lo general de una deficiencia intelectual, sino de una absoluta falta de nter’ es y motivaci ‘ on. A veces no existe ni siquiera el deseo de comprender el problema, y por lo tanto el mismo no es comprendido.
El profesor que desee realmente ayudar a un alumno con estas caracter• Isticas deber • a ante todo despertarle su curiosidad dormida, motivarlo y transmitirle deseos de logro y superaci ‘ on. Algunas creencias negativas para el proceso creativo est an asociadas a una baja autoestima y pueden tener ras Ices emocionales profundas. por ejem- plo hay quienes enfrentados a un problema creen a priori que no podr’ an resolverlo, y que si lo intentan s • olo conseguir ‘ an terminar con un dolor e cabeza.
El maestro o profesor debe en estos casos apelar a todas sus dotes y conocimientos como educador, aunque en casos extremos ser’ a necesaria tambi’ en la ayuda de un orientador o la de un psic ‘ ologo. En el polo opuesto, alguien que tenga confianza en su propia capacidad y crea que un problema es un desaf’ 10 que vale la pena enfrentar y que re- solverlo le proporcionar’ a una satisfacci ‘on intelectual al mismo tiempo que una experiencia valiosa para su formaci’ on, estar’ a en excelentes condi- ciones psicol’ ogicas para abordar el proceso resolutivo. Para profundizar en estos aspectos vea [4], [24], [25],
