Polinomio

Polinomio gy cliannc1997 ctenpanR ‘E, 2016 | 14 pagos Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaclones, pero no divisiones. Los exponentes sólo pueden ser etc. No puede tener un número infinito de términos. Monomio Saltar a: navegación, Monomio es una exp exponentes naturale PACE 1 orlá Sv. pe to View nut*ge ue se utilizan e constan de un solo término (si hubiera + ó – seria binomio) , un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las etras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de vanos monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término. Ejemplos: SxA4yA6 , quad -x , quad 0. yA8wA{12} En matemáticas, un polinomio (del griego, rtoÀug polys ‘muchos’ y vópoç nómos ‘regla, prescripción, distribución’, a través del latín polynomius)1 2 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando indeterminadas. Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, uímica, economía y las ciencias sociales. En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica. ?ndice 1 Definición algebraica . 1 polinomios de una variable 1. 2 Polinomios de varias variables 1. 3 Grado de un polinomio 2 Operaciones con polinomios 3 Funciones polinómicas 3. 1 Ejemplos de funciones polinómicas 4 Factorización de polinomios 5 Historia 6 Véase también 7 Referencias 8 Enlaces externos Definición algebraica Polinomios de una variabl os coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y n in mathbb{N}, entonces un polinomio, de grado n en la variable x es un objeto de la forma = a _ n xAn + a_{n-l} xNn – 1}+ cdots + xA{1} XA{O}.

Un polinomio P(x) in K[x] no es más que una sucesión matemática finita tal que a _ n K. Representado como: el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como: P(x) = = a_{i} Las constantes aO, an se llaman los coeficientes del polinomio. A ao se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1 , al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Polinomios de varias variables Como ejemplo, de polinomios de dos variables desarrollando los binomios: (2) (X * = xA2 + 2xy + (X + y)A3 = xA3 + 3xA2y 3xyA2 + xA4+ 4xA3y + 6xA2yA2 + 4xyA3 + YA4 end{cases} Para obtener la expansión ias de una resta, basta 5xy, 3xzA2, 4xyA2z, dots En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente. Grado de un polinomio Articulo principal: Grado (polinomio).

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. Ejemplos P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente). P(x) 3x + 2, polinomio de grado uno. P(x) = 3×2 + 2×2, polinomio de grado dos. P(x) – 2×3+ 3x + 2, polinomio de grado tres. Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como scriptstyle Ainfty. En partlcular los números son polinomios de grado cero. Operaciones con polinomios Artículo principal: Operaciones con polinomios.

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes. Ejemplo Sean los polinomios: P(x) entonces el producto es: (5xA2+3) , + + 12X+3 Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analltica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente: a_i XAi
ight) b_j XAj
ight) = a _ p
ight) XAk

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene: xcdot 3)XM (1 xcdot 5)XA2 + (4cdot 5+ 2cdot 3)XA3 (0)x’4 + (5cdot 2)xA5 + 26xA3 + sxA2 + 12X +3 Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios scriptstyle P(X) y scriptstyle Q(X) y el polinomio producto scriptstyle Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que scriptstyle = -infty (junto con la operación forall p: + p = Ainfty) por lo que la expresión (k) puede xtenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo.

Funciones polinómicas Articulo principal: Función s OF definir una función polinómica asociada al polinomio dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo: f_P:A Xto A,qquad qquad ain A mapsto f_P(a)=a_n aftn La funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillas de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación ollnómica o para integrar numéricamente funclones más complejas.

Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner. En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores. Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico.

Las splines se definen a partir de polinomios y tienen ayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora. Ejemplos de funciones polinómicas Note que las gráficas representan a las funciones polinomiales y no a los polinomios en sí, pues un polinomio solo es la suma de vanos monomlos. y no a los polinomios en sí, pues un polinomio solo es la suma de vanos monomios. Polinomio de grado 2: Polinomio de grado 3: f(X) = X3/5 4X2/5 • 7X,15 – 2- 1/5 Polinomio de grado 4: – 1/14 + 0. 5. Polinomio de grado 5: 1/20 2.

La función (x)— 13×0-4 – 7xA3 + xA2 es un ejemplo de función polinómica de cuarto grado, con coeficiente principal 13 y una constante de 3. Factorizaclón de polinomos Artículo principal: Factorización. En un anillo conmutativo «scriptstyle A una condición necesaria para que un monomio sea un factor de un polinomio de grado n > 1, es que el término independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio: a _ n XAn + dots + a_l X + a _0 necesariamente alpha divide a En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita com n y ya está factorizado.

También se puede factoriz igualdades notables. parte no factoriza ni sobre ni tampoco sobre aunque factoriza sobre scriptstylescriptstyle mathbb{C}: XA2 i i Un cuerpo en el que todo polinomio no constante factoriza en monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado. Historia Volumen de una pirámide truncada. La resolución de ecuaciones algebralcas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.

En el problema 140 del papiro de Moscú (ca. 890 a. C. ) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anteriores resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica actual sería: V = h (P + b2 + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.

Algunos polinomios, como x2+ 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raices osibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra. Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concreta descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo WI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia).

Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede aber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton. Son monomios, pero: , quad 5xN3/2} no son monomios. indice 1 Elementos de un monomio Grado de un monomio 3 Monomios semejantes 4 Operaciones con monomios 4. 1 Suma y resta de monomios 4. 2 producto de monomios 4. Cociente de dos monomios 5 Véase también 6 Enlaces externos Elementos de un monomi se distinguen los siguientes elementos: coeficiente: 5 X, también incluye al signo parte literal (exponente natural): xA3 grado: 3 El signo te indica si es negativo (-). Se omite si es positivo (+) y , y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero. La parte literal la constituyen las letras de la expresión. El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su arte literal) o con relación a una letra.

Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+). Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno. Si algún término carece de exponente, este es igual a uno. Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que: forall x – N; : quad xNO} = 1 Dada una variable x un número natural a y un número real alpha N; la expresión: alpha cdot xAa = alpha xAa es un monomio. Si tenemos varias variables: el número real alpha X; y los números naturales a_l el producto correspondiente: 4