Metodos numericos

Metodos numericos gy mirianvaleria ACKa5pR 03, 201C gpagcs A Dios, que me ha acompañado a lo largo de mi vida, quien me gura y me protege de todas las cosas malas, por darme salud, fuerza y serenidad INTRODUCCION El término «spline» hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.

En este artículo nos referiremos con el término «spline» a su versión restringida en una dimensión y polinomial, que es la más camunmente utilizada. En el subcampo matemático del análi org definida en porcione ed de interpolación, se splines porque da lu solamente el uso de int s una curva n los problemas olación mediante requiriendo o, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayor[a de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas.

La simplicidad de la representación y la acilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representació SWipe page representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador INTERPOLACION SPLINE Muy frecuentemente se dispone de una gran cantidad de datos relativos a una funcion, conocida o no, que se desea aproximar. Las técnicas de interpolación polinómica dan lugar en general a interpolantes que presentan grandes oscilaciones. La interpolación spline desempeña un papel fundamental en el tratamiento de este tipo de problemas.

En lo que sigue, nos centraremos principalmente en la interpolación spline cúbica, unque trataremos primero brevemente la lineal y la cuadrática. INTERPOLACION CON SPLINES DE GRADO UNO los polinomios de grado elevado pueden presentar grandes oscilaciones. Ello hace que un polinomio pueda coincidir con una función en muchos puntos y que, aunque dos de ellos estén muy próximos, en puntos entre estos dos el valor del polinomio diste mucho del de la función. Incluso es posible que la distancia tienda a infinito cuando el grado del polinomio crece (el ejemplo de Runge es una buena ilustración).

Por el contrario para los polinomios de grado bajo no se dan tales oscilaciones; basta pensar en las gráficas de las rectas, las arábolas o las cúbicas, por citar los de grado más bajo, que son los de mayor interés en la construcción de las funciones spline polinómicas. La idea de este tipo de funciones es hacer posible la construcción de espacios de funciones suficien funciones es hacer posible la construcción de espacios de funciones suficientemente suaves fácilmente manejables.

Los más utilizados son los construidos, hablando en términos gráflcos, a partir de funciones polinómicas a trozos de grado bajo que presentan cierta regularidad. Un ejemplo sencillo es el de una función cuya gráfica la forman rectas a trozos, es decir egmentos, sobre una partición a -xl < x2 < < xn b del intervalo [a, b], de tal manera que el extremo final de un segmento coincide con el principio del siguiente. La gráfica que resulta es lo que conocemos como una poligonal.

Obsérvese que se trata de una función continua en el intervalo total [a, b], y que al restringirla al intervalo [xi, xi+l], 1 i n – 1, es un polinomio de grado menor o igual que uno; además, estas dos propiedades se mantienen cuando se suman poligonales o se multiplican por escalares. Por tanto las funciones cuyas gráficas son las poligonales asociadas a la partición anterior constituyen n espacio vectorial. Este espacio vectorial es el de las funciones spline de grado uno y nodos xn, y se nota por SI xnn).

También se observa de inmediato que si en los nodos XI, , xn se conocen los valores yl yn que toma cierta función y se desea construr una poligonal, del tipo anterior, que pasa por ellos, el problema tiene solución y es única: su gráfica la forman los segmentos que unen los puntos resultant tiene solución y es única: su gráfica la forman los segmentos que unen los puntos resultantes: el punto (XI, yl) con el punto (x2, y2), el (x2, y2) con (x3, y3), etc. y su expresión analítica, si(x), en el ubintewalo es Xi,Xi+1, ISiSn-1, es: -yiyi+l -xix-xi, x E xi, xi+l (el último subintervalo se considera cerrado por la derecha, es decir, [xn-l, b]). Por tanto, el problema consistente en interpolar datos lagranianos referidos a los nodos xn en el espacio SI , xn) es unisolvente (es decir, tiene solución en ese espacio vectorial y es única). Este hecho también nos indica que la dimensión de dicho espacio es n.

La dimensión también se puede deducir teniendo en cuenta que cada spline es un polinomio de grado menor o igual que 1 en cada subintervalo, lo que deja dos parámetros libres para su determinación; en total, como hemos e obtener n – 1 polinomios, serían 2 (n – 1) parámetros, a los que habría que restar n—2 restricciones originadas al exigir la continuidad en los n-2 nodos interiores, obteniendo como valor de la dimensión 2 (n – 1) – (n – 2) = n (este resultado, obtenido a partir de un razonamiento de tipo heurístico, requiere una demostración rigurosa, pues no hemos probado que las formas lineales asociadas al problema sean linealmente independientes).

Una base del espacio SI (XI, , xn) la constituyen las n poligonales que valen, respectivamente, 1 en un nodo y O en los n – 1 nod xn) la constituyen las n poligonales que valen, respectivamente, 1 n un nodo y O en los n – 1 nodos restantes. Esta base es muy útil en problemas de elementos finitos (ver grafica 3. 1) Otra base se puede definir a partir de potencias truncadas. La función potencia truncada de grado m en el punto c se nota por (x – c)m + y se define por: (x-c)+m-O si x <c(x-c)m si x Figura 2. 3 En la figura 3. 2 se muestra las graficas de dos de ellas: Gráficas en [—3, 6] de las potencias truncadas de grados m = 1, 2 correspondientes a c = 2. La base de SI XI mediante potencias truncadas es: 1, x, x-x3+,… x*xn-1+.

INTERPOLACION DE SEGUNDO ORDEN Las funciones spline polinómicas de grado mayor que uno iguen una filosofía idéntica a las de grado uno, sólo que al aumentar el grado se puede conseguir mayor regularidad global, sin que cambie mucho la dimensión del espacio vectorial. Así, los splines cuadráticos con nodos XI, .. xn están constituidos por parábolas a trozos, unidas entre si no sólo con continuidad sino también con tangente continua, de tal forma que son funciones de clase uno en el intervalo [a, b]. El espacio vectorial correspondiente se nota por S2 (XI, , xn) . Es evidente que si se desea calcular una parábola conociendo su valor en dos puntos, por ejemplo en XI y x2, y el valor de su derivada en no de ellos, por ejemplo en XI, el problema es unisolvente. Si queremos usar de su derivada en uno de ellos, por ejemplo en XI, el problema es unisolvente.

Si queremos usar el spline cuadrático para Interpolar datos, la siguiente parábola tendría que volver a interpolar el valor en el nodo x2, puede interpolar un nuevo valor de función en x3, pero no podemos interpolar una derivada arbitraria en uno de estos extremos, pues, para que ambas parábolas enlacen con clase uno se necesita que la nueva parábola tenga en x2 la misma derivada que la parábola construida en el intervalo [XI, 2] . Continuando la construcción hasta el último subintervalo, observamos que el espacio S2 (XI, . , xn) permite resolver un problema de interpolación con n+l datos (valores en los n nodos y el valor de la derivada en uno de ellos). Nuevamente, la dmensión n+l es igual al número de parábolas que hay que construir, n — 1, por el número de parámetros de cada una, tres, menos el número de nodos interiores, n—2, por las restricciones en cada nodo interior, dos (coincidencia del valor y de la primera derivada).

Detallemos el problema de interpolación lagrangiana en S2 (XI, 2, , xn), que describimos como sigue: Encontrar S E S2(x1 ….. xn) al que S XI = yi, ISiSn Donde hk=xk+l -xk entonces: uk=yk yk-Ak-Pkhk (3. 1 ) Se trata de un sistema de n—2 ecuaciones para las incógnitas „ pn-l, por lo que el problema (3. 1) no es unisolvente en S2 (XI, xn). Una forma de consegu pn-l, por lo que el problema (3. 1) no es unisolvente en S2 (XI, xn). Una forma de conseguir un problema unisolvente consiste en especificar el valor de la derivada de la funcion spline en uno de los nodos. Si es el inicial, equivale a especificar el valor de Pl . En cualquiera de estos casos las igualdades (3. 2) ermiten determinar recurrentemente los restantes valores de las incógnitas.

Otra forma de abordar el problema es elegir [30 de modo que alguna cantidad relacionada con el spline se minimice, por ejemplo la energía o alguna aproximación de la curvatura. El problema descrito también podría haberse expresado en términos de la base de potencias truncadas de S2 (XI xn), dada por INTERPOLACION DE SPLINES DE TERCER ORDEN De igual forma que en los casos anteriores, se puede construir un espacio formado por funciones cúbicas a trozos de clase dos. Es el espacio vectorial de los splines cúbicos, que se nota por S3 xn). Este espacio tiene dimensión n + 2, como indica un razonamiento similar al de los casos precedentes. De nuevo podemos escribir una base para el mismo en función de potencias truncadas.

Con el espacio S3 (XI xn) podemos interpolar valores en los n nodos y dos datos más. Cabría pensar que los dos datos restantes para la interpolación son relativos a derivadas en los extremos de uno de los subintervalos. Efectivamente esa es una posibilidad, pero no la más interesante. Los p de los subintervalos. Efectivamente esa es una posibilidad, pero no la más interesante. Los problemas de interpolación n el espacio S3 (XI, , xn) tienen sus dos datos restantes referidos a los nodos extremos a y b; por tanto, su construcción no es tan simple como en los casos anteriores. El problema de interpolación lagrangiana en S3 (XI xn) es el siguiente: Encontrar S E s3(x1 ….. xn) Tal que S xi— yi, Isisn (3. ) Se tienen dos tipos de splines cubicos: SPLINE CUBICO NATURAL Supongamos, por simplicidad, que tenemos 7 puntos: Buscamos los polinomios de grado 3 que van a componer el spline: Entonces tenemos: 4 6 = 24 incógnitas. En principio, habría que plantear y resolver un sistema lineal de 24 ecuaciones con 24 incógnitas. Esa tarea seria complicada. Afortunadamente, puede demostrarse que el problema se puede simplificar de forma notable. La demostración es sencilla pero laboriosa, así que no lo vamos a ver. Supongamos que indicamos por „ . , , que son los valores de la segunda derivada (desconocidos) en los nodos. Vamos a ver cómo el problema de cálculo de los splines queda reducido a la resolución de un sistema lineal donde las incógnitas son las derivadas segundas anteriores.

Una vez calculadas esas derivadas segundas, simplemente utilizando unas fórmulas adecuadas, podremos recuperar los 24 coeficientes del spline. En el caso concreto de un spline cúbic En el caso concreto de un spline cúbico natural o con frontera libre: y . Por lo tanto, en este caso sólo tenemos 5 incógn’tas: (las derivadas segundas del spline en los nodos intermedios). Pues bien, se demuestra que éstos números pueden obtenerse resolviendo el siguiente sistema: siendo para Este sistema es muy fácil de resolver porque es tridiagonal. Puedes hacerlo, como vimos en las prácticas, por el método de triangulación de Gauss o por el método iterativo de Gauss-Seidel.

Una vez resuelto este sistema, se obtienen los coeficientes de spline medlante: Para los valores . Estas fórmulas se pueden generalizar fácilmente para cualquier conjunto de nodos SPLINE CÚBICO CON FRONTERA SUJETA Supongamos, por simplicidad, que tenemos 5 puntos Buscamos los polinomios cúbicos: . Tenemos 16 incógnitas. Si tenemos un spline con frontera sujeta, conoceremos dos datos adicionales, los valores de la derivada en los dos nodos extremos: Ahora tenemos que resolver un sistema lineal de 5 ecuaciones con 5 incógnitas para determinar el valor de en los 5 nodos: una vez resuelto el sistema, se obtienen los coeficientes del spline con las mismas fórmulas de la sección anterior.