Matriz

Matriz gy luisrataelm cbenpanR 16, 2016 14 pagos Matriz (matemáticas) Para otros usos de este término, véase Matriz. En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. La notación de una matriz tiene la forma: Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y simen, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base.

En este ultimo caso, las matrices esempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. pueden sumarse, mu PACE 1 or formas, lo que tambi lar, del álgebra lineal. Índice [ocultar] 1 Historia 21ntroducción 2. 1 Definición 2. 20peraciones básicas entre matrices 2. 2. 1 Suma o adición 2. 2. 2Producto por un escalar 2. 2. 3Producto de matrices erse de varias clave en el campo 30tros conceptos relacionados con matrices 3. 1 Rango de una matriz 3. 2Matriz traspuesta 3. Matrices cuadradas y definiciones relacionadas 4ApIicaciones 4. 1 Las matrices en la Computación 4. 2Teoria de matrices uadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura chinahacia el 650 a. C. 2 Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. un importante texto matemáticochino que proviene del año 300 a. C. a200 a. C, Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. En el capítulo séptimo, «Ni mucho ni poco», el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kõwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693. Los «cuadrados mágicos’ eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticascombinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China.

Los primeros «cuadrados mágicos» de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa’il Ihkwan al-Safa). 2 Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Lelbniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo WII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss yWilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz en 1848/1850.

En 1853, Hamilton hizo algunos apor por primera vez el término « matriz » en 1848/1850. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teor(a de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escriblr un sistema de m ecuaciones lineales on n incógnitas. Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky- Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica.

Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica. Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundlal, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno deaeroelasticidad llamado fluttering. Introducción[editar] Definición[editar] Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) ycolumnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.

A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n- por-m (escrito ) donde . El conjunto de las matrices de tamaño se representa como , donde es elcampo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y os mismos elementos en las mismas posiciones. A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila é mismos elementos en las mismas posiciones.

A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le llama entrada o entrada -ésimo de la matriz. En estas expreslones también se consideran primero las filas y después las columnas. Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minúsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subíndices que refieren al número de fila y columna del elemento. 4 Por ejemplo, al elemento de na matriz de tamaño que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le denota como , donde y.

Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un o un con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz de tamaño se representa como mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como . Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes n negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. cita requerida] Así es una matriz, mientras que es un escalaren esa notaclón. Sin embargo esta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer esta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas. Otra notación, en si un abuso de notación 40F suficientemente claro como para no usar negritas. Otra notación, en sí un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i. e. o incluso Como caso particular de matriz, se definen los vectores fila y los vectores columna.

Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, , se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota es una matriz de tamaño . La entrada es 7. La matriz es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas. Operaciones básicas entre matrices[editar] Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones enálgebra lineal.

De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas. Suma o adición[editar] Sean . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria tal que y donde en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual a la suma de los elementos y lo cual es Veamos un ejemplo más explícito. Sea No es necesario que las matrices sean cuadradas: A la luz de estos ejemplos es Inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo amaño.

La suma de matrices, en el caso de que las entradas estén en un campo, poseen las propiedades de asociatividad, conmutatividad, existencia s OF un campo, poseen las propiedades de asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que estas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. Propiedades de la suma de matrices Sean , donde es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria Asociatividad [Expandir]Demostración Conmutatividad Existencia del elemento neutro aditivo

Existe tal que Existencia del inverso aditivo a esta matriz se le denota por . En efecto, estas propiedades dependen del conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los números reales) y (los números complejos). Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrínsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene que es un grupo abeliano.

En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas e la matriz sea un anillo , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a , ya que bajo un anillo se tiene qu abeliano. En el caso de que las entradas estén en e necesita ser un grupo dotando de estructura de grupo abeliano a . Producto por un escalar[edltar] Sean y . Se define la operación de producto por un escalar como una función tal que y donde en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo .

Por ejemplo, la entrada es igual al producto Veamos un ejemplo más explícito. Sea y También es inmediato observar que el producto por un escalar a como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades del producto por un escalar Sean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar Distributividad respecto de la suma de matrices Distributividad respecto de la suma en el campo Producto por el neutro multiplicativo del campo por como se definió la operación de producto por escalares se dice que es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adi que es un espacio vectorial con las operacion producto por escalares vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.

En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo s un anillo con uno, se dice que es un módulo sobre Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que [Expandir] Demostración Este último resultado permite usar la notación sin riesgo de ambigüedad. Producto de matrices[editarl Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices y dando como resultado la matriz .

Artículo principal: Multiplicación de matrices Articulo pnncpal: Aplicación lineal El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones e aplicaciones lineales. A de matrices, como se define, proviene de la com plicaciones lineales. base que se ha elegido para en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales y entonces y, luego la aplicación se representará como donde es el producto de las representaciones matriclales de .

Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de , en particular debe de haber una relación entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho esto podemos definir el producto de la siguiente manera. Sean y . Se define el producto de matrices como una función tal que y donde para toda , es decir . Por ejemplo, la entrada . Veamos un ejemplo más explicito. Sean y dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz .

Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definición de la función de producto de matrices y sólo se toma en cuenta la definición de las entradas, el producto no estará bien definido, ya que si no tiene el mismo número de columnas que de filas entonces no podremos establecer en donde acaba a suma: si la acabamos en el mayor de éstos números habrá sumandos que no están definidos ya que una de las matrices no tendrá más entradas, mientras que si tomamos el menor habrá entradas de alguna de las matrices que no se tomen en cuenta.

Así es necesario que tenga el mismo número de columnas que de filas para que exista. Como se puede suponer también, las propiedades de ésta operacion serán más limitadas en la generalidad ya que suponer también, las propiedades de ésta operación serán más limitadas en la generalidad ya que además de las limitaciones impuestas por la naturaleza de las entradas está esta limitación especto a tamaño. Es claro, además, que el producto de matrices no siempre es una operación interna.

Propiedades del producto de matrices Sean matrices con entradas en , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan) Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composición de funciones lineales sería conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de lgunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad.

En el caso en que tengamos tendremos que el producto entre matrices en también está en . En ese caso además de espacio vectorial es un álgebra sobre un campo. En el caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces además de módulo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún con el producto de matrices es un anillo. Otros conceptos relacionados con Rango de una matriz[editar] Articulo principal: Rango de una matriz El rango de una matriz es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal represent oincide con 4