Guía de geometría Euclidiana 1era parte

LA GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL PLANO COMO SISTEMA AXIOMÁTICO Geometría. (Del lat. geometrTa, y este del gr. YEtopEtp[a). 1. f. Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. El Diccionario de la lengua española (DRAE) «La geometría es el estudio de las propiedades y características de ciertos conjuntos como rectas, ángulos, triángulos y círculos.

Un sistema que depende del razonamiento deductivo se conoce como sistema lógico» PACE 1 org Peter, D Para representar dist os geometría apela a lo axiomáticos (compue idad, la formales o e unen respetando eglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras. Un Sistema formal o lógico consta de: Términos indefinidos Definiciones Axiomas Teoremas Cualquier proceso de razonamiento debe iniciar en alguna parte con algunos supuestos no probados. Estos supuestos, cualesquiera que sean, pueden usarse para deducir (probar) otras proposiciones.

Tales supuestos basicos no probados son llamados Axiomas. siempre constan de otros términos (los cuales a su vez deben ser definidos, y así sucesivamente), es necesario disponer de algunos érminos con los cuales podamos comenzar. Cuando un conjunto de axiomas da origen (implica) una nueva proposición, esa nueva proposición es llamada Teorema. Cuando consideramos un conjunto de axiomas y todos los teoremas que puedan obtenerse a partir de ellos por implicación válida, tenemos una entidad llamada Sistema Axiomático o simplemente Sistema formal o lógico o simplemente sistema. Introducción: Elementos del método axiomático, Prof. Nelson Tovar) Estudiaremos la Geometría Elemental como un ejemplo de sistema axiomático, donde Los términos Indefinidos son: punto, recta y plano. Se sabe que tanto la recta y como el plano son conjuntos de puntos. Definición: Llamamos espacio al conjunto de todos los puntos. El espacio es el Conjunto Universal de esta teoría. ¿Qué es realmente un punto o una recta o un plano? Puesto que son términos indefinidos, no hay una definición para ellos, pero pueden caracterizarse mediante propiedades o relaciones entre ellos que deben cumplir y que se establecen en los axiomas.

Diremos que una recta pasa por un punto si la recta contiene al punto. Postulado 1 a) Por dos puntos diferentes pasa una única recta. Otra manera de expresarlo es: Dos puntos distintos determinan na única recta. b) Toda recta contiene al menos dos puntos diferentes. Si una recta contiene a los puntos Ay B, la Toda recta contiene al menos dos puntos diferentes. Si una recta contiene a los puntos Ay B, la denotamos AB. Definición: Si tres o más puntos pertenecen a una recta se dice que están alineados o que son colineales. Postulado 2. a) Por tres puntos no alineados pasa un único plano. Otra manera de expresarlo es: Tres puntos no alineados determinan un plano. b) Todo plano contiene al menos tres puntos no alineados. Postulado 3. – Si dos puntos diferentes están en un plano, la recta ue ellos determinan está totalmente contenida en el plano. Postulado 4. – (Postulado de la regla) Entre la recta y el conjunto de los números reales existe una correspondencia «biunívoca» que preserva la distancia y el orden. El Postulado de la regla permite establecer coordenadas en la recta y en el plano.

Así mismo podemos hablar de la distancia entre dos puntos A y B que denotamos por AB o también por d(A, La correspondencia mencionada induce en la recta una relación de orden. Esta relación de orden nos permite, para los puntos de una recta cualquiera, hablar de «estar entre», «ser anterior» (preceder), o «seguir a». En particular se puede definir segmento de extremos A y B, así como semirrecta o rayo de origen A que contiene a B. Definición: El punto B está entre los puntos A y C si A By C son colineales y AC=AB+BC. Se escribe o denota A – B – C.

Nota: Ver pág. 8 y g del Ge ere revisar la teoría 31_1f8 correspondiente a ecuacio Nota: Ver pág. 8 y 9 del Geltner, se sugiere revisar la teoría correspondiente a ecuaclones e inecuaclones con valor Absoluto. De ser necesario hacer algunos ejercicios relacionados que permitan revisar la definición del Valor absoluto, recuerde que la definición de distancia en geometría es importante. Definición: Se define el segmento de recta con extremos Ay B al conjunto de puntos entre A y B además de Ay de B. Lo denotaremos AB. B} U {PO ABIA-P- B}.

Recuerda que, en la recta real, un segmento abierto no incluye a los extremos, mientras que el cerrado sí los incluye. Nota que: Definición: Se llama longitud de un segmento a la distancia entre sus puntos extremos, pertenezcan éstos o no al segmento. Si el segmento tiene extremos Ay B denotaremos su longitud por Acuerdo a la definición anterior, el segmento abierto y el cerrado con los mismos extremos tienen la misma longitud. En este curso un segmento incluye los extremos. Definición: Se llaman segmentos congruentes aquellos que tienen la misma longitud.

En una recta, un punto A cualquiera junto con el orden, determinan dos subconjuntos muy importantes, estos son las semirrectas o rayos de origen A, que pueden ser abiertas o cerradas. La semirrecta cerrada de o ontiene a B: Son todos los Puntos P de la recta AB que, en el orden de la recta, siguen a A. DA, AB,’A-B- P}. También se denota por AB La semirrecta abierta de origen A que no contiene a B es el Conjunto de puntos de la recta que en el orden de la recta, preceden a A. La semirrecta cerrada también se llama rayo e incluye al punto ue es el origen del rayo o semirrecta.

La semirrecta abierta no incluye al punto origen. Ambos conjuntos son complementarios en la recta. Definición: Se llama ángulo a la unión de dos semirrectas o rayos con origen común, o dos segmentos con un extremo común. El punto común se llama vértice. El ángulo se denota por CBAC, en ese caso la letra central corresponde al vértice. Si no hay lugar a confusión de denota OA para indicar el ángulo de vértice A. Una notación muy cómoda y más simple es Cl cuando no se presta a confusión.

Si las dos semirrectas coinciden el ángulo se llama nulo, si son iferentes y están incluidas en una misma recta el ángulo se llama llano. Si SI y s2 son semirrectas con origen A. Observe que, si sl U s2 es una semirrecta, entonces el ángulo se llama nulo y si SI U s2 es una recta, entonces el ángulo se dice llano. Postulado S. – (Medidas de umiremos que a cada ángulo se le puede asignar (su medida) y que construir ángulos con medidas 0+0 y C]-C]. (Ver Postulado del transportador pág. 18 y Postulado de adición de ángulos pág. 9 del Geltner) Ejercicio. 1- Dados dos ángulos de medidas n y nnnexplique un procedimiento para construir con regla y compás ángulos con edidas la suma (C] + C]CI yla diferencia (C] – DC]. La medida de un ángulo llano es 180C] o Cl radianes, según el sistema utilizado. Indicaremos la medida de los ángulos con letras griegas, así CIOC] mC]DDBAC) y decimos que Cl es la medida del ángulo. Definición: Diremos que dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Notación: Usaremos el símbolo «—» o para denotar la congruencia.

Ast «CABC • 0C)» se lee: «el ángulo ABC es congruente al ángulo de vértice D. Ejercicio. 2- Hacer los ejercicios del 1 al 19 pág. 21 del Geltner. Definición: La bisectriz de un ángulo OBAC es una semirrecta o rayo AD tal que: C]BAD —O DAC, con D un punto en el interior del ángulo Definición: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90 0 y suplementaria si la suma de sus medidas es 800. Antes de hacer la primera demostración, se sugiere revisar detenidamente la sección 2. 3 Preparación para una demostración y seccion 2. Demostraciones pág. 41-43 de Geltner haciendo énfasis en el concepto de demostración completa que el autor sugiere. Demostración. – En el Geltner, esta demostración tiene errores en las proposiciones 6,7 y 8. Teorema 2- Los Complementos de ángulos congruentes son congruentes. Demostración. Se deja como ejercicio al estudiante, la idea es que el estudiante siga los pasos de la demostración anterior. Dos rectas que se cortan forman varios ángulos. De dos ángulos como C] 1 y 03 0 02 y 04 diremos que son Opuestos por el vértice. (Ver definición en la pág. 5 del Geltner) Teorema 3 Ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Está demostración a continuación se hace en forma de párrafo, intente hacerla con el esquema del Geltner pág. 46. Demostración. – Veamos por ejemplo que • 03. Para demostrar la afirmación anterior basta observar que si C] es la medida de CII, la medida de 03 y C] la de C]2, entonces 1800 luego 00+ C] de donde se concluye que ü=nn Definición: un ángulo es adyacente a otro, si tienen un lado común y el punto que establece la dirección de ese lado común está en el interior del ángulo formado por los otros dos lados. Ver definición en la pág. 45 del Geltner) Ejercicio 3. – Hacer los ejercicios del 1 al 14 pág. 46-51 del Geltner. Congruencias de triángulos Criterios o Postulados de congruencia de triángulos. (LLL = LLL) Primer criterio ia de triángulos: respectivamente congruentes sus tres lados. (LAL = LAL) Segundo criterio de congruencia de triángulos: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido. (ALA = ALA) Tercer criterio de congruencia de triángulos: congruentes dos ángulos y el lado común a ellos.

Ejercicio 4. -a) Construir un triángulo conociendo los tres lados. Discutir. b) Construir un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido. c) Construir un triángulo conociendo un lado y los ángulos adyacentes. Discutir. Ejercicio 5. – Hacer los ejercicios del 1 al 26 pág. 54-56 del Definición: Un triángulo es isósceles si tiene al menos dos lados congruentes. El ángulo incluido entre los lados congruentes es el ángulo vértice, los otros dos son ángulos de la base y el lado opuesto al ángulo vértice es la base.

Definición: En el AABC con Dy E puntos de la recta AB, CD es una altura de AABC Si CD _L AB , y CE es una mediana de AABC si E es punto medio de Ag, esto es si AE—BE. Teorema 4. – En un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base, corta a ésta en su punto medio y es perpendicular a ella. Teorema 5. – En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes Sugerencia: trazar la mediana del ángulo vértice o la altura del ángulo vértice. 81_1f8