Geometria Analitica

Introducción. En geometría analítica, al igual que en física, es muy importante elegir un sistema de coordenadas, o referencia, adecuado con objeto de simplificar al máximo las ecuaciones y que el proceso de resolución sea lo más rápido posible. Ello se realiza mediante una transformación de ejes coordenados cuyo proceso general se puede considerar reducido a dos movimientos, uno de traslación y otro por rotación. Transformaciones de coordenadas. Es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.

Vemos entonces, que moviendo los ejes coordenados de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición original. Una vez que el origen de un sistema de ejes x e y se cambia al punto O’ (x0, YO) en el sistema original, es necesario dar a cada punto p (x, y) en el sistema original un nuevo conjunto de coordenadas p’ (x’ , y’) en el nuevo sistema, de acuerdo con las siguientes relaciones: El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento posterior. or ejemplo, un círculo on centro en (1, 2) y un radio r = 3, se puede describir por medio de la siguiente ecuación: (x- 32 Cuando los ejes de referencia se cambian a O’ (1, 2), el mismo círculo se puede describir como: [(x’+l)- l] 2 + +2) – 2] 2 = 32 o (x’)2 = 32 Como se muestra, es definitivamente más fácil trabajar con la ecuación en el nuevo sistema. Rotación de los ejes de coordenadas. Cambio de la orientación de los ejes de referencia mientras se conserva el origen. La principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema de oordenadas que en el sistema original.

Si los ejes originales más simple en el nuevo sistema de coordenadas que en el sistema original. Si los ejes originales X y Y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo symbol theta, para cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas (x • , y z), que son: x’ = x cos e sen e y • = -x sen e + y cos e para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las coordenadas originales en las nuevas coordenadas: x = x ‘ cos e-y sen e y = x sen 9 + y cos e

Como ejemplo de rotación, considera una ecuación simple y = x + 21/2, que es una línea. Si los ejes originales x ey rotan en sentido contrario al reloj un ángulo de 450, las coordenadas originales se pueden expresar como: x = x ‘ cos 450 -y sen 450 y = x sen 450 + y • cos 450 Por lo tanto, x = x (21/2/2) -y (21/2/2) y -x ‘ (21/2/2) +Y ‘ (21/2/2) Entonces, la ecuación y = x + 21/2 se convierte en: x’ (21/2/2)’ y ‘ ‘ (2112/2)-y (21/2/2) + 21/2 En las nuevas coordenadas, la ecuación es una línea paralela al eje x ‘ , +1 unidad separada del eje x 3 DE 3