Geometria

Geometria gy nairuthma AQKa5pR 02, 2010 17 pagcs REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA. MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA. UNEFA – NUCLEO ZULIA. CIRCUNFERENCIA La circunferencia se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que está siempre a la mimas distancia de un punto fijo, situado en el mismo plano y llamado centro. A la distancia que hay entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se le llama radio. * OBJETIVOS: 1. Determinar la ec ia en forma ori? ordinaria con centro View

Ejercicios: a con centro en el 1. Encuentre la ecu origen: a. Y radio igual a 4. b. Y que pasa por el punto A(3,4) c. Y que sea tangente a la recta 3x+4y+15=O, (Tangente a una curva, es una recta que toca a la curva en un solo punto. En una circunferencia, un radio siempre es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. 2. Determinar la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria cuando el centro es un punto cualquiera en el plano, a las coordenadas del centro las llamamos C (h,k): (x-h)2 + (y-k)2 r2 a esta ecuación se le conoce como forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en e el punto: a. C (5,1) y cuyo radio es igual a 3. b. C (2,3) y radio igual a 5. c. C (-3,4) y que pasa por el punto A (5,1) 2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (-2,1) y B (6,5). Encuentre la ecuación de dicha circunferencia. 3. Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C (2,5) y que es tangente a la recta 3x+4y-1—0 4. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (1,2), B (5,4) y D (3,8) 3.

Encontrar las coordenadas del centro y radio dado la cuación de la circunferencia En el estudio de la circunferencia se presentan problemas que conocida la ecuación de la circunferencia, se pide encontrar as coordenadas del centro y la longitud del radio. 1. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia: a. Cuya ecuación es (x-3)2 + (y+2)2 9 b. Cuya ecuación es x2 +y2 +5x-4y+5= O 4. Obtener la forma general de la circunferencia, si desarrollamos la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia (x-h)2 (y-k)2 = r2, obtenemos x2 + y2 + F Donde: -2h, -2ky h2+k2-Q. . Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacion es: . x2+Y2+6x -12Y -3 = O b. X2+Y2 *8x-10-10 = O c. x2 y2 6x-8y 11-0 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Encuentra la ecuación rencia con centro en el origen y cuyo radio mide: 1. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el 2. 1. r=l 2. 2. r = 4 2. 3. 2. 4. 2. Halle la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria y en la forma general, si se conoce el centro Cy un punto de la circunferencia 3. 5. A (0,0). 3. 6.

A (2,2). 3. Encuentre en la forma ordinaria y en la forma general la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados: 4. 7. J(-l ,-2), 4. 8. 4. 9. 4-5,-1), . Encuentra la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria y en la forma general, si se conocen su centro y la ecuacion de una recta tangente a dicha circunferencia: 5. 10. 3x+4y-1=o 5. 11. 6x+8y-16=O 5. Encuentra las coordenadas del centro y la longltud del radio de las siguientes circunferencias, cuyas ecuaciones son: 6. 2. x2+Y2+2x +2y -2 O 6. 13. x2+Y2-12x -noy = o 6. 14. 2×2+2y2+6x +2Y+5 – O 6. 15. ax2+4Y2-8x -36F -73 6. 16. (x-3)2 (Y+3)2 -25-0 Parábola Definimos la parábola como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que está siempre a la isma distancia de un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz, situados como la directriz en el mismo plano de la parábol directriz, situados tanto el foco como la directriz en el mismo plano de la parábola.

Los principales elementos de la parábola, a saber: eje de la parábola: es la recta que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado vértice. La posición del eje determina la posición de la parábola; hay parábolas horizontales y verticales, según el eje sea horizontal o vertical. La parábola siempre es simétrica respecto a su propio eje. Directriz de la parábola: es una recta perpendicular a I eje de la parábola y está a la misma distancia del vértice que el vértice del foco.

Lado recto de la parábola: Es la recta que une dos puntos de la parábola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. Se denotan por: V: vértice de la parábola F: foco de la parábola LR: lado recto de la parábola d: directriz de la parábola p: distancia del vértice al foco, o del vértice a la directriz. La ecuación de la parábola cambia de acuerdo con su posición y con la situación del vértice. Formas ordinarias de la ecuación de la parábola:

Horizontal, con vértice en el origen: y2=4px Vertical, con vértice en el origen: x2=4py Horizontal con vértice (h,k) (y-k)2=4p(x-h) Vertical con vértice (h,k) (x-h)2=4p(y-k) Formas generales de la ecuación de la parábola Horizontal: Vertical: X2+DX+EY+F=O Siendo: D–2h E=-4P F=h2+4pk Forma para calcular la longitud del lado recto: p: es la distancia del vértice al foco a la distancia del vértice a la directriz (por la definición de parábola, estas dos distancias son iguales), y es positivo o negativa según abra la parábola hacia los extremos positivos o negativos de los ejes coordenados.

Ejercicios de Parábola 1. Encontrar la ecuación de la parábola k, que es centrada en el origen y a. Pasa por P (-3,1) y se abre hacia la derecha b. Pasa por P (2,5) y se abre hacia abajo c. pasa por p (5,-3) y se abre hacia abajo d. Pasa por P (1 ,6) y se abre hacia arriba, si se abre hacia la derecha, y si se abre hacia la izquierda. e. Pasa por P (-3,2) y se abre hacia arriba f. Pasa por P (2,-1) y se abre hacia la izquierda g. Pasa por P su foco esta en el eje Y. h. Pasa por P (3,-2)y su foco esta en el eje X. i. Su lado recto mide 8 y su foco esta en la parte negativa del e x. j.

Su lado recto mide 10, y su foco esta en la parte positiva del eje y k. Tiene por directriz l. Tienen por directriz y=-3 m. Con vértice (0,0) y c SOF17 n. Con vértice (2,3) v fo en el origen de foco (0,-8) encontrar: p. La ecuación de k q. La ecuación de su directriz r. La longitud de su lado recto s. La ecuación de la recta que sustenta el lado recto t. La ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el lado recto 3. Encuentre todos los elementos de la parábola cuya ecuación u. Y2=1 2x v. y2=3x w. x2+8y=O x. (Y+5) 2=-1 6(x-1) y. y2-8x 6y-7=O Z. X2-8X+5y-4=o 2-2y-4x-11-0 4.

Halle la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el centro de la circunferencia cuya ecuación se da y su foco en el punto que se señala: x2+y2+4x-5y-3=o, x2+Y2-2x+4y-5=o, RECORDAR FACTORIZACION La operación de descomponer en factores los productos notables, también se llama «Factorización». Es el proceso inverso al desarrollo de los productos notables. para factorizar polinomios hay varios métodos: FACTOR COMUN Consiste en transformar dada en un producto, expresión por el factor común Efectuamos el cociente de cada término entre en factor común 3. 4x +1) Esta es la expresión ya factorizada.

DIFERENCIA DE CUADRADOS Este caso se basa en la fórmula: a2 — 52 (a + – b) TRINOMIO Se pueden conseguir tres casos: Trinomio de la forma x2 + ax + b: La fórmula general viene dada por: x2 + ax+b y al factorizarlo queda expresada como (x + m) donde n. m = b y n + m = a Trinomio cuadrado perfecto Se basa en las siguientes fórmulas * (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 * (a – = -zab + b2 Trinomio de segundo grado (ax2 +bx+c) Cuando no se cumplen las condiciones de los dos casos anteriores. Para la factorización de este caso se procede de la siguiente manera: x2 + bx + c = O Se iguala toda la expresión a cero (O).

Se calculan ecuación los dos valores de x, utilizando la cuadrática. ax2 + bx + c = – xl)(x – x2) Se aplica la fórmula general. Regla de Ruffini Se aplica para cualquier tiene ra[ces enteras; es Pero ¿cómo se aplica la regla de Ruffini para obtener las raíces? Factorizar x4-4×3 -x2 +16x -12 Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12, o sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12y-12 x4- 4×3 -x2 +1 6x -12 21 Se copian los coeficientes del II -1116 1-1 polinomio.

II -31 -4 12 | Escribimos el número seleccionado a la derecha (a este lo llamaremos raízSe copia el primer coeficiente debajo de él mismo. Se multiplica la raíz por el primer coeficiente que se bajó y el producto se copia en la segunda fila debajo del segundo coeficiente. 1 | -3 -41 12 O I Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en las columnas donde se colocó el producto. Se multiplica la raíz por el resultado de la suma algebralca realizada y este producto se copia en la segunda fila debajo del tercer coeficiente.

Luego se efectúa la suma algebraica e las dos cantidades ubicadas en las columnas donde se colocó el producto. Se vuelve a multiplicar y sumar el producto con el siguiente coeficiente. Se efectúa el último producto y la última suma. Como el resultado final es cero (o), esto nos indica que el 1 sí es una raíz del polinomio y nos sirve para factorizar. I 121-21-12 I Probando ahora por 2 y aplicando otra vez 2 la regla queda I II 1-II-61 2 1-21 -121 Probando ahora por 2 y aplicando otra vez la regla queda I 111-11-610 -21 1-216 1 La nueva raíz en -2 | II 1-3101 3 13 y el último cociente se toma con la raíz -3 | 11101

La factorización final es: x4 – 4×3 -x2 +16x -12 = (x – 2)(x + LOS TRIÁNGU OS El triángulo tiene una característica especial, es estable; por ello es vital en la industria, en efecto, si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, la forma del triángulo permanece. Observa las estructuras de una torre utilizada en la extracción de petróleo, o las torres que sostienen algunas antenas parabólicas, y también en muchos edificios. El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo ABC se refiere al triángulo determinado por los puntos A, By C.

En este aso sus lados son los segmentos AB, BC y AC. Los ángulos del triángulo son los ángulos de vértices A, By C, es decir, L CAB, ABC y BCA. El símbolo «z» representa la palabra triángulo. Así «LABC» significa «el triángulo ABC» Clasificación de los triángulos; Según sus ángulos I Acutángulo: Tiene tres ángulos agudos (miden menos de 900) Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (miden más de 900) I Rectángulo: Tiene un a ide 90c) I recto (mide 900) Según sus lados Equilátero: Tiene tres lados miden igual. Isósceles: Tiene dos lados que miden igual. I Escaleno: Todos sus lados miden distinto.

Otros elementos de los triángulos I Alturas: Segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto Orto-centro: Punto de intersección de las alturas I Bisectrices: Semirrecta que divide cada ángulo en dos ángulos iguales. lncentro: Punto de intersección de las bisectrices y centro del círculo inscrito en el triángulo I Medlanas: Segmento desde cada vértice al punto medio del lado opuesto Baricentro o Centro de gravedad: Punto de intersección de las medianas Mediatrices: Recta perpendicular a cada lado en su punto medio Circuncentro: Punto de intersección de las mediatrices y entro del círculo circunscrito al triángulo.

UNIDAD 1: segmentos. Objetivo: Identificar las características de un segmento en el plano cartesiano. Sistema de Coordenadas lineales y en el plano. El plano cartesiano llamado también Sistema de Coordenadas Rectangulares, está formado por dos rectas perpendiculares de origen común y dividen el plano en cuatro cuadrantes. El punto donde se cortan las rectas se llama Punto de Origen (0,0) y las rectas que se cortan, las llamamos Ejes de Coordenadas Forma horizontal (eje de las X) se le llama Eje de Abscisas. II CUADRANTE CUADRANTE (0,0) origen x