By Ecuaciones dif gy rudexe 110R5pR 17, 2011 5 pagcs TEMA 2-ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN 1 2. 1 – Ecuaciones diferenciales elementales 2. 1 . 1 – Ecuaciones separables De nición: Una EDO de orden 1 F (t, y, y ) se dice separable si puede ser escrita de la forma Resolución: A(t)dt = ors to View nut*ge B(y)dy + K to yo B(y)dy Ejercicio: El ritmo al que se enfría un cuerpo caliente es proporcional a la diferencia de temperatura entre él y el ambiente que lo rodea (ley de enfriamiento de Newton).
Un cuerpo se calienta a 1100 C y se expone al ambiente a una temperatura de 100 C. Al cabo de na hora su temperatura es de 600 C. 3,áCuánto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfríe a 300 C? 2. 1. 2 – Ecuaciones reducibles a separables 2. 1. 2. 1 – Ecuaciones equivalentes a la anterior son: • y = f (x, y) es homogénea si f (x, y) es homogénea de grado Oy —f x y Resolución: Con el cambio u = se llega a una ecuación diferencial x de variables separables. . 1. 2. 2 – Ecuaciones reducibles a homogéneas y at + by+ cdt+ ey+fy -f at + by + cdt+ ey + f • c – f — 0 es homogénea • b —e —O oa d —O es de variables separables • ae – bd = O Resolución: Se hace el cambo onde (to , yo ) es el punto de corte de las rectas at dt+ ey+f—O • ae bd Resolución: Si b 0 se hace el cambio u at + by Si e = O se hace el cambio u = dt + ey by+c=Oy 2. 1. – Ecuaciones diferenciales exactas De nición: una ecuación diferencial M (t, y)dt+N (t, y)dy = O es exacta si existe una función F (t, y), llamada función potencial de la ecuación diferencial, cuya diferencial coincide con M (t, y)dt + N (t, y)dy , es decir «M ôN , son continuas en un rectángulo R del By dt plano, entonces M dt+N dy = 0 es exacta en R si y sólo si Teorema: Si M, N, RI_IFS exacta en R si y sólo si Teorema: Si M , N , Resolución: Podemos proceder de dos formas. 1.
Si sabemos calcular M (t, y)dt, tendremos M (t, y) dt+ M (t, y) dt Integrando (2) y sustituyendo en (1) obtenemos F (t, y). La solución de la ecuación es F (t, y) = C . 2. Si sabemos calcular N (t, y) dy , tendremos N (t, y) dy + h(t) ô N (t, y) dy Integrando (4) y sustituyendo en (3) obtenemos F (t, y). La solución de la ecuación es F (t, y) – C. 2. 1. 4 – Ecuaciones reducibles a exactas De nición: Sea M (t, y)dt + N (t, y)dy = O una ecuación diferencial no exacta, y sea Vl(t, y) una función no nula en cada punto de un ierto rectángulo Ry tal qu )dt + p(t, y)N (t, y)dy 31_1fS 0 es exacta.
Entonces se di es un factor integrante es decir a(t)dt • = voy) V-e INIM aMôN ayatôN -atay b(y)dy , b(y) • p = p(v), v = at + by ON OM — Ot Oy , c(v) = bM — aN 4 2. 2 – Ecuaciones lineales De nición: Una EDO de primer orden de la forma dy Q(t) dt es una ecuación lineal. Resolución: Se puede encontrar un factor integrante _p (t)dt 406 S 2. 3 – Reducción del orden cia de variable oblicuas De nición: Una familia de curvas es una expresión en la que K es un parámetro arbitrario. Trayectorias ortogonales 1 .
Se obtiene la ecuación diferencial y = f (x, y) de la familia de curvas F (x, y, K) = O. 2. La familia ortogonal a F (x, y, K) = 0 tiene como ecuación diferencial 3. Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior. Trayectorias oblicuas curvas F (x, y, K) O. 2. La familia oblicua a F (x, y, K)- 0 tiene f (x, y) + tg(a) 1 — f (x, y)tg(a) 6 Trayectorias ortogonales en coordenadas polares 1 . Se obtiene la ecuación diferencial f (B, p, p) de la familia de curvas F (e, p, K) = O. 2. La familia ortogonal a F (e, p, K) = O tiene SÜFS
