By Econmia gystetanob AQKa5pR 03, 2010 Epagcs El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesion converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente. La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite.
La condición que impone que los elementos se encuentren rbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy). Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del con•unto donde se ha definido la suceslon. or6 Sv. ipe to View a1000= 2 003 El límite de una suce n los términos de una [pic] al-1 0. 5 a1000= 0. 001 a1000 000 = 0. 000001 El límite es 0. 0. 6666…. l 0. 999000999001 a1000 000 o. ggggggoooool El límite es 1. a1=5 se van aproximando tiene por límite 0. Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su istancia a O es menor que un número positivo (E), por pequeño que éste sea. (pic] Como k» 10 a partir del al 1 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0. 1 [PiC] Vamos a determinar a partir de que término la distancia a O es menor que 0. 001. A partir del al 001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0. 01 También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos: Una sucesión an tiene por [mite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio E, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes érminos pertenecen a dicho entorno. Límite infinito de una sucesión Una sucesión an tiene por limite cuando para toda existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M. El límite de la sucesión an- n2 es +m. ,4, 9, 16, 25, 36, 49, Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000. a101= 1012- 10 201 El intervalo (0,1) tiene como puntos de acumulación al intervalo [0,1]. Un coniunto finito no tiene cumulación (hay que «infinitamente próximo» con los números enteros por ejemplo. El conjunto de puntos de acumulación en Q es igual al de R, ya que Q es denso en R. N no tiene punto de acumulación. por lo tanto, cada punto en N es aislado. Este conjunto se aproxima a -1 y 1 y según tengo anotado ambos son los únicos puntos de acumulación que posee el conjunto. Ahora bien, ¿cómo sé tal cosa? n punto de acumulación es un punto que si hago una bola centrada en dicho punto debe contener otro punto que sea del conjunto sin contarse a si mismo pero ¿el radio de esta bola cual es? ¿infinitésimo? Porque si no fuese así ¿todos los puntos serian de acumulación no? ero si la respuesta es infinitésimo, ¿A caso no hay un irracional entre 2 racionales? Pues si este conjunto tan sólo posee racionales, ¿Cómo afirmar que -1 y 1 lo son? Pues el primer elemento después de ellos sería un irracional antes que un racional del conjunto y por tanto no podr(a serlo no? [pic] La verdad que estoy hecho un lío.
Por otra parte, esto duda de los irracionales es debido a que el conjunto es de los reales ¿no? Me explico. Si en el problema en vez de pertencer S a los reales lo hiciese por ejemplo a los racionales, ¿Dicho problema desaparecería no? ¿O igualmente eguir[a trabajando sobre la línea de los reales en el fondo En análisis matemático, el concepto de convergencia hace referencia a la propiedad que poseen algunas sucesiones numéricas de tender a un límite. Este concepto es bien general y dependiendo de la naturaleza del conjunto donde se encuentre definida la sucesión, 31_1f6 definida la sucesión, puede adoptar varias formas.
Definición Una sucesión de elementos [pic]de un espac10 métrico [pic]converge a un elemento [pic]si para todo número [pic]existe un entero positivo [picl(que depende de [picl) tal que (l) [pic] En tal caso, se acostumbra escribir también o simplemente Intuitivamente, esto significa que los elementos [pic]de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a [pic]si [pic]es suficientemente grande, ya que [pic]determina la distancia entre [pic]y [pic]. A partir de la definición es posible demostra que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.
La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno. En el caso de un espacio normado [pic]la norma [pic]induce la métrica [pic]para cada [pic]; en el caso de un espacio con producto interno [pic]el roducto interno [pic]induce la norma [pic]para cada [pic] Ejemplos • Sucesiones en [pic]ó [pic] El conjunto de los números reales [pic]al igual que el conjunto de los números complejos [pic]se constituyen en un espacio métrico por medio del valor absoluto: para cada par de elementos [pic]en [pic]ó [pic], la función [pic]determina una métrica.
Por tanto, de acuerdo a (1), una sucesión [pic]en [pic]converge a un [pic]si para todo [pic], existe un entero [pic]tal que Como ejemplos podemos considerar: • La sucesión constante definida por [pic]para todo [pic], donde [picl. Esta onsiderar: donde [pic]. Esta sucesión converge a [pic]pues para todo [pic] • La sucesión [pic]Esta sucesión converge a cero, pues por la propiedad arquimediana de los números reales, para cada [pic], exite número natural [pic]tal que [pic]y por tanto, si • La sucesión del ejemplo anterior es un caso particular de un resultado más general.
Dado [pic] • Si [pic]entonces [pic] • La sucesión [pic]. Esta sucesión no converge, sus valores oscilantes son [pic] • Debido a que [pic](en particular [pic]) está dotado de una operación suma (lo que no ocurre en todo espacio métrico), a ada sucesión [pic]en [pic](en particular [pic]) es posible asociarle la sucesión de sumas parciales (2) [PiC] La sucesión [pic]se expresa simbólicamente como (3) [pic] y se le denomina serie infinita. En el caso en que la sucesión de sumas parciales (2) converja, [picl, se dice que (3) es una serie convergente y se escribe En caso contrario se dice que (3) es una serie divergente.
Ejemplos clásicos de series convergentes y divergentes son Observemos que la definición de convergencia nos dice que una suceslón [pic]en un espacio métrico [pic]converge a un [pic]si la ucesión de números reales [pic]converge a cero en [pic], i. e. , • Sucesiones en [pic] • Sucesiones en el espac Sl_1f6 • Sucesiones en el espacio [pic] • Sucesiones en el espacio de las funciones continuas [pic] Se dice que una sucesión de números reales es divergente o que tiene limite infinito si sus términos, en valor absoluto, superan cualquier número real por grande que sea.
Por lo tanto, su representación deben ser puntos que se alejan del origen tanto como se quiera. observa en la sucesión del ejemplo cómo los términos se alejan or la derecha siendo cada vez mayores y superando cualquier número que fijemos (100, 1000, 10000, PROPIEDADES DE LIMITES DE SUCESIONES Primera propiedad La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los límites. picl Segunda propiedad La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su limite es la diferencia de los límites. Tercera propiedad El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de los límites. Cuarta propiedad Si una sucesión (an ) tiene límite distinto de 0, y tiene todos sus términos también
