By Universidad Autónoma de Campeche Facultad de ingeniería Ingeniería en mecatrónica Métodos numéricos «Situaclón histórica y conceptos básicos» Tarea # 1 índice Introducción histórica y la aplicación a la ingenier(a de los métodos numéricos or6 Los métodos numé to View ingenlena… Precisión y exactitud.. Cifras 6 Definiciones de 7 Errores de redondeo.. 8 Bibliografía… 8 Introducción histórica y la aplicación a la ingeniería de los métodos numéricos o analíticos.
Sin embargo, las soluciones analíticas tienen valor práctico limitado porque la mayoría de los problemas reales no on de tipo lineal, e implican formas y procesos complejos. 2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas. Sin embargo, los resultados no eran precisos, eran tediosas y difíciles de implementar y, finalmente, las técnicas graficas están limitadas a los problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos. 3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo.
Sin embargo, los cálculos manuales son lentos y tediosos y los resultados no son consistentes, debido a que surgen equivocaciones cuando se efectúan las tareas de esta manera. Antes del uso de la computadora se gastaba mucha energía en la técnica misma de la solución, esta situación desafortunadamente se debía al tiempo y trabajo monótono que se requeriapara obtener resultados numéricos con técnicas que no utilizaba la computadora. Hoy en día las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para cálculos complicados.
Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin temer que recurrir a suposiciones de simplificación o a técnicas lentas. Los métodos numericos y la práctica de la ingeniería Desde finales de la década de los cuarenta, la multiplicación y la disponibilidad de las computadoras digitales han llevado a una verdadera explosión en el uso y desarr verdadera explosión en el uso y desarrollo de los métodos numéricos.
Existen muchas razones por las cuales se deben estudlar los métodos numéricos en la ingeniería: * Son herramientas muy poderosas para la solución de problemas, por lo tanto, aumenta la habilidad de quien los estudia para resolver problemas. * En el transcurso de la carrera de un ingeniero es posible que tenga la ocasión de usar software disponible comercialmente ue contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teor(a básica en la que se basan estos métodos.
Los métodos numéricos son un vehiculo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Cuando se implementan en forma satisfactoria los métodos numéricos y se apliquen estos para resolver de otra manera los problemas difíciles, se dispondrá de una excelente demostración de como las computadoras pueden servir para el desarrollo profesional. * Son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, pues convierte matemáticas superiores a peraciones aritméticas básicas.
Precisión y exactitud Los errores asociados con sus cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el valor verdadero. La precisión se refiere a que tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Estos conceptos se pueden il 31_1f6 Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía de una diana de prácticas de tiro.
Los agujeros en cada blanco de la figura se pueden imaginar como las predlcciones n una técnica numérica, mientras que el centro del blanco representa la verdad. La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Por lo tanto, aunque los disparos en la figura c) están más juntos que los de la figura a), los dos casos son igualmente inexactos, ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La imprecisión (también llamada incertidumbre), sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los disparos. or lo tanto, aunque las figuras b) y d) son por igual exactas (esto es, igualmente centradas con especto al blanco), la ultima es más precisa, ya que los disparos están en un grupo más compacto. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente precisos para el diseño en la ingeniería. Clf as significativas El concepto de cifra o dígitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico.
Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden ser usadas en forma confiable. Por ejemplo el velocímetro y el dómetro de la figura estiman hasta tres y siete cifras si confiable. Por ejemplo el velocímetro y el odómetro de la figura estiman hasta tres y siete cifras significativas, respectivamente. Para el velocímetro, los dos dígitos seguros son 48. Es convencional estmar el conjunto de dígitos de la mediana de la división de la escala más pequeña de un aparato de medición. Así que la lectura del velocímetro consiste de tres cifras significativas: 48. . En forma similar, el odómetro, al leer 87,324. 45, tendrá siete cifras significativas. Definiciones de error Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones ara representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando los números tienen un límite de cifras significativas que se usan para representar números exactos.
Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por: Valor verdadero = aproximación + error Reordenando la ecuación se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor proximado, esto es: Et = valor verdadero – aproximación donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. Se incluye el subíndice t para denotar que se trata del error «verdadero» Como ya se mencionó brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una estimación «aproximada» del error.
Un defecto en esta definición es emplear una estimación «aproximada» del error. Un defecto en esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo i se está midiendo un remache de un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se está evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en: Error relativo fraccional error verdadero / valor verdadero donde, como ya se dijo en la ecuación Et = valor verdadero – aproximación.
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como: Et error verdadero / valor verdadero * 100% dondeEt denota el error relativo porcentual verdadero. Errores de redondeo Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora puede guardar un número fijo de cifras ignificativas durante el cálculo. Los números tales como TI, e ó 7 no pueden ser expresados por un número fijo de cifras significativas.
Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora; además, porque las computadoras usan una representación en base dos, y no pueden representar ciertamente números exactos en base diez. Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas es llamada error de redondeo. Bibliografía Chapra, Steven C. y Camile, Raymond P. , «Métodos numéricos para ingenieros», sexta edición, Mc GrawHill, México, 2011.
