By Investigación y Ciencia, agosto, 1 ggg: 58-63. Traducción de Luis Bou. Gôdel y los [mites de la lógica John W. Dawson, Jr. http://www. conicit. go. cr/recursos/documentos/suic0899. shtml Kurt Gódel, genio de la matemática, se consagró en su obra a la racionalidad. Paradoj intimidad. Ante el encerado, Ku y un tanto desnutrid PACE 1 orlá to View nut*ge char con ésta en su formal, reservado s escritos han calado en el público, SI exceptuamos un puñado de filósofos y lógicos-matemáticos. De sus teoremas de completitud derivan consecuencias declslvas para los fundamentos de las atemáticas y de las ciencias de la computación.
Su peripecia vital y su obra responden a una tenaz búsqueda de la racionalidad en todo. Un ansia que deja al descubierto el trasfondo recurrente de una inestabilidad mental. Gódel demostró que los métodos matemáticos aceptados desde tiempos de Euclides eran inadecuados para descubrir todas las verdades relativas a los números naturales. Su descubrimiento minó los fundamentos sobre los que se había construido la matemática hasta el siglo XX, acicateó a los pensadores para buscar otras posibilidades y engendró un vivaz debate sobre la naturaleza de la verdad.
Las innovadoras técnicas de Gódel. familias estuvieron asociadas con la industria textil de la ciudad. Entre los antepasados de Gõdel no encontramos profesores ni intelectuales; la educación de su padre no fue más allá de estudlos de comercio. pero Rudolf Gõdel, amblcioso y tenaz, logró salir adelante, llegando a director gerente primero, y a copropietario más tarde, de una de las grandes fábricas de hilados de Brno. Ganó dinero suficiente para comprar una casa en uno de los barrios elegantes y enviar a sus hijos a escuelas privadas de habla alemana.
Los chicos lograron excelentes resultados en sus estudios. En toda su trayectoria escolar, primaria y secundaria, sólo una vez recibió Kurt una calificaclón inferior a la máxima en una asignatura Gen matemáticas! ). Pero no mostraba signos precoces de genialidad. Era un niño inquisitivo, tanto, que fue apodado der Herr Warum («el señor Por qué»); también, introvertido, sensible y enclenque. A eso de los ocho años contrajo unas fiebres reumáticas.
Aunque al parecer no le dejaron secuelas duraderas, le mantuvieron apartado de la escuela por algún tiempo; quizás alentaron su enfermiza preocupación por la salud y la dieta, que se fue reforzando con los años. En 1924, tras graduarse en el Realgymnasium, una escuela técnica de Brno, Gódel abandonó su país natal para matricularse en la Universidad de Viena. A ese centro había acudido, cuatro años antes, su hermano para estudiar medicina. La economía vienesa se encontraba por entonces en ruinas. La universidad, empero, retenía su viejo esplendor.
Gracias a ella, a pesar de las privaciones materiales, Viena dio cobijo en el período de entreguerras a un impresionante flor privaciones materiales, Viena dio cobijo en el período de entreguerras a un impresionante florecimiento de las ciencias, las rtes y la filosofía. Gódel ingresó en la universidad con la intención de seguir la carrera de física. pero al poco, impresionado por las lecciones de los profesores Philipp Furtwãnglery Hans Hahn, se orientó hacia la matematica. Muy pronto destacó por su talento.
A los dos años de su matriculación fue invitado a asistir a las sesiones de un seminario de debates que Hahn y el filósofo Maritz Schlick habían fundado dos años antes. El grupo, que llegaría a ser famoso con el nombre de Círculo de Viena, se inspiraba en los escritos de Ernst Mach, un campeón del racionalismo, convencido de que todas as cosas podían explicarse mediante la lógica y la observación empírica, sin recurrir a entidades metafísicas. El Círculo puso a Gõdel en contacto con Rudolf Carnap, filósofo de la ciencia, y Karl Menger, matemático.
Le ayudó a familiarizarse con la bibliografía de la lógica matemática y de la filosofía. En particular, el Círculo se hallaba enfrascado en los escritos de Ludwig Wittgenstein, cuya preocupación por el metalenguaje (en qué medida el lenguaje puede hablar acerca del lenguaje) pudo haber inducido a Gõdel a sondear cuestiones similares en atemática. Algunos de los miembros del Círculo, entre ellos Carnap, Hanh y el físico Hans Thirring, estaban investigando los fenómenos parapsicológicos, asunto por el que también Gôdel mostraba agudo interés. Años más tarde, Gódel le haría notar a un amigo intimo, el economista Oskar Morgenstern, que en el futuro seria tenido por fenómeno extraño que los científicos economista Oskar Morgenstern, que en el futuro sería tenido por fenómeno extraño que los científicos del siglo XX hubieran descubierto las partículas físicas elementales y ni siquiera se les ubiera ocurrldo considerar la posibilidad de factores psíquicos elementales. ) Gôdel, sin embargo, no compartía la visión positivista del Círculo de Viena, que desarrolló y generalizó las ideas de Mach.
Era, por contra, un platónico, convencido de que, además del mundo de los objetos, existe un mundo de los conceptos al que los humanos tienen acceso por intuición. Para él, un enunciado debía tener un «valor de verdad» bien definido -ser verdadero o no serlo- tanto si había sido demostrado como si era susceptible de ser refutado o confirmado empíricamente. Desde su ropio punto de vista, tal filosofía constituía una ayuda para su excepcional penetración en las matemáticas.
Aunque Gódel era un observador atento y muy lúcido, rara vez contribuía a las discusiones del Círculo, a menos que tratasen de matemáticas. Tímido y reservado, tenía pocos amigos íntimos. (Le agradaba, sin embargo la compañía femenina y, según parece, las mujeres le encontraban francamente atractivo. ) Después de 1 928 sólo en raras ocasiones asistía a las reuniones del grupo; en cambio, participaba activamente en un coloquio matemático organizado por Menger.
Las actas del coloquio se ublicaban en un anuario, que Gõdel ayudaba a redactar, y al que posteriormente habría de contribuir con más de una docena de artículos. Durante este período, Gódel adquirió súbitamente estatura internacional en lógica matemática. Dos fueron, en particular, las publicaciones responsables de 40F internacional en lógica matemática. Dos fueron, en particular, las publicaciones responsables de su prominencia. Una de ellas, su tesis doctoral, presentada en Viena en 1 929, y publicada al año siguiente.
La otra, su tratado «Sobre las proposiclones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas fines», publicada en alemán en su Habilitationsschrift (la memoria de cualificación para el ejercicio de la docencia universitaria) en 1932. En su tesis doctoral, «La completitud de los axiomas del cálculo funcional de primer orden», resolvía un problema pendiente, que David Hilbert y Wilhelm Ackermann habían planteado en un libro que escribieron conjuntamente en 1928, Grundzüge der theoretischen Logik («Fundamentos de la Lógica Teórica»).
La cuestión consistía en si las reglas al uso, enunciadas en el libro, para la manipulación de expresiones que contengan conectivas ógicas «o», y similares) y cuantificadores («para todo» y «existe», aplicadas a variables que recorren números o conjuntos) permitirían, adjuntados a los axiomas de una teoría matemática, la deducción de todas y sólo todas las proposiciones que fueran verdaderas en cada estructura que cumpliera los axiomas.
En lenguaje llano, ¿seria realmente posible demostrar todo cuanto fuera verdadero para todas las interpretaciones válidas de los símbolos? Se esperaba que la respuesta fuese afirmativa, y Gôdel confirmó que así era. Su disertación estableció que los principios de lógica esarrollados hasta aquel momento eran adecuados para el propósito al que estaban destinados, que consistía en demostrar todo cuanto fuera verdadero basándose en un sistema dado s OF estaban destinados, que consistía en demostrar todo cuanto fuera verdadero basándose en un sistema dado de axiomas.
No demostraba, sin embargo, que todo enunciado verdadero referente a los números naturales pudiera demostrarse a partir de los axiomas aceptados de la teoría de los números. Entre dichos axiomas, propuestos por el matemático italiano Giuseppe Peano en 1899, figura el principio de inducción. Este xioma afirma que cualquier propiedad que sea verdadera para el número cero, y que se cumpla para el número natural n+l siempre que sea verdadera para n, tiene que ser verdadera para todos los numeros naturales.
El axioma, al que algunos llaman «principio domlnó» -porque si cae el primero, caerán derribados todos los demás- podría parecer evidente por sí mismo. Sin embargo, los matemáticos lo encontraron problemático, porque no se circunscribe a los números propiamente dichos, sino a propiedades de los números. Se consideró que tal enunciado de «segundo orden» era demasiado vago y poco definido para semir e fundamento a la teoría de los números naturales.
Por tal motivo, se refundió el axioma de inducción y se le dio la forma de un esquema infinito de axlomas similares concernientes a fórmulas específicas, en vez de referirse a propiedades generales de los números. pero estos axiomas ya no caracterizan unívocamente los números naturales, como demostró el lógico noruego Thoralf Skolem algunos años antes del trabajo de Gõdel: existen también otras estructuras que los satisfacen. El teorema de completud de Gôdel enuncia que es posible demostrar todos aquellos enunciados que se siguen de los xiomas.
Existe, sin emb posible demostrar todos aquellos enunciados que se siguen de los axiomas. Existe, sin embargo, una dificultad: si algún enunciado fuese verdadero para los numeros naturales, pero no lo fuese para otro sistema de entidades que también satisface los axiomas, entonces no podría ser demostrado. Ello no parece constituir un problema serio, porque los matemáticos confiaban en que no existieran entidades que se disfrazasen de números para diferir de ellos en aspectos esenciales. Por este motivo, el teorema de Gbdel que vino a continuación provocó auténtica conmocion.
En su artículo de 1931, Gódel demostraba que ha de existir algún enunciado concerniente a los números naturales que es verdadero, pero no puede ser demostrado. (Es decir, que existen objetos que obedecen a los axiomas de la teoría de números y, no obstante, en otros aspectos dejan de comportarse como números. ) Se podría eludir este «‘teorema de incompletudl’ si todos los enunciados verdaderos fueran tomados como axiomas. Sin embargo, en ese caso, la decisión de si ciertos enunciados son verdaderos o no se torna problemática a priori.
Gbdel demostró que siempre que los axiomas puedan ser caracterizados por un istema de reglas mecánicas, resulta indiferente cuáles sean los enunciados tomados como axiomas. Si son verdaderos para los números naturales, algunos otros enunciados verdaderos acerca de los números naturales seguirán siendo indemostrables. En particular, si los axiomas no se contradicen entre SÍ, entonces, ese hecho mismo, codificado en enunciado numérico, será «formalmente indecidible» -esto es, ni demostrable ni refutable- a partir de dichos axiomas.
Cualquie partir de dichos axiomas. Cualquier demostración de consistencia habrá de apelar a principios más fuertes que los propios axiomas. Este último resultado apenó muchísimo a Hilbert, quien había contemplado un programa para fijar los fundamentos de las matemáticas por medio de un proceso «autoconstructivo», mediante el cual la consistencia de teorías matemáticas complejas pudiera deducirse de la consistencia de más sencillas y evidentes.
Gõdel, por otra parte, no consideraba que sus teoremas de incompletud demostrasen la inadecuación del método axiomático, sino que hacían ver que la deducción de teoremas no pueden mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en la investigación matemática. Los conceptos y los métodos introducidos por Gbdel en su artículo sobre la incompletud desempeñan un papel central en la teoría de recursión, que subyace a toda la informática moderna.
Generalizaciones de sus ideas han permitido la deducción de diversos otros resultados relativos a los límites de los procedimientos computacionales. Uno de ellos es lo irresoluble del «problema de la detención», que consiste en decidir, para un ordenador arbitrario provisto de un programa y de unos datos arbitrarios, si llegará a detenerse o si quedará atrapado en un bucle infinito. Otro es la demostración de que ningún programa que no altere el sistema operativo de un ordenador será capaz de detectar todos los programas que sí lo hagan (virus).
Gôdel pasó el año académico 1933-34 en Princeton, en el recién fundado Instituto de Estudios Avanzados, donde disertó s Princeton, en el recién fundado Instituto de Estudios Avanzados, donde disertó sobre sus resultados de incompletud. Fue invitado a volver al año siguiente, pero al poco de regresar a Viena sufrió una grave crisis mental. Se recuperó a tiempo para retornar a Princeton en el otoño de 1935; al mes de su llegada sufrió una ecaída, y no volvió a impartir enseñanza hasta la primavera de 1937, en Viena. Por ser confidencial el historial médico de Gódel, la diagnosis de su mal sigue siendo desconocida.
Sus problemas parecen haber comenzado con hipocondría: estaba obsesionado por su dieta y por sus hábitos intestinales. Durante veinte años llevó un registro diario de su temperatura corporal y de su consumo de leche de magnesia. Temía sufrir un envenenamiento accidental; con los años, le aterraba ser objeto de una intoxicacion deliberada. Esta fobia le llevó a no querer tomar alimentos, con la consiguiente desnutrición. Lo que no le impedía ingerir píldoras de diversa condición para un imaginario problema cardíaco. Salvo en los problemas de crisis, los problemas mentales de Gddel entorpecieron muy poco su trabajo.
La persona que le mantuvo en actlvo fue Adele porkert, a quien conoció en un local nocturno de Viena durante sus años de estudiante. Porkert, seis años mayor que Gõdel, católica y divorciada, con el rostro desfigurado por una «flor» de nacimiento, trabajaba de bailarina. Los padres de Gôdel la tenían por motivo de escándalo. Pero ellos no desmayaron en su mutuo afecto, y más de una vez, sirviéndole e catadora de alimentos, Adele contribuyó a paliar los temores de Gbdel, cada vez más fuertes, de que buscaban envenenarle.
Tra Adele contribuyó a paliar los temores de Gõdel, cada vez más fuertes, de que buscaban envenenarle. Tras un largo noviazgo, se casaron en septiembre de 1938, justo antes de que Gôdel retornase a los EEIJIJ, donde disertó en el Instituto de Estudios Avanzados y en la Universidad de Notre Dame sobre los apasionantes resultados que había obtenido en teoría de conjuntos. Tal logro entrañaba la resolución de algunos de los aspectos más controvertidos de la teoría de colecciones de objetos.
A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor había introducido la noción de tamaño («cardinal») para conjuntos infinitos. Según tal concepto, un conjunto A tiene menor cardinal que un conjunto B si, cualquiera que sea la forma en que a cada elemento de A otro le sea asignado en B, quedan siempre elementos de B que no tienen correspondiente. Valiéndose de esta noción, Cantor demostró que el conjunto de los números naturales es menor que el conjunto de todos los números reales (el conjunto de todos los números decimales).
Cantor conjeturó también ue entre un conjunto y otro no existen conjuntos de tamaño intermedio, enunciado que llegó a ser conocido como la hipótesis del continuo. En 1908, Ernst Zermelo, formuló una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Entre ellos se encontraba el teorema de elección, el cual (en una de sus versiones) afirma que dada una colección infinita de conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos un elemento, existe un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos de la colección. Aunque su aspecto parece incuestionable -¿por qué no habríamos de ser cap 4
