casos de factoreo

casos de factoreo gyjonatan721 $eapa,1F I S, 2016 8 pagcs PRIMER CASO EL PRIMER CASO DE FACTORES SE DIVIDE EN DOS PARTES QUE SON: FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR COMÚN POLINOMIO FACTOR COMUN MONOMIO Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término si hubiera + ó – seria binomio, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios.

Un monomio es una clase de olinomio con un único término. EJEMPLO l: 5a2 – 15ab- 10 ac El factor común entr literales es a, por lo t – 15ab- 10 = SEGUNDO CASO org S»ipe to View nut*ge ntre los factores FACTOR COMUN POR AGRUPACION Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común.

Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, e la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios. Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los parénte paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas. EJEMPLOI 2ax + 2bx – ay + 5a -by+ 55 Agrupo los términos que tienen un factor común: (2ax – ay 5a) + (2bx by + 5b) Saco el factor común de cada grupo: a (2x -y+5)+b (2x -y + 5) Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene: TERCER CASO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Es igual al cuadrado de un binomio.

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. EJEMPLO 1 a2 +2ab + (a+b)2 4×2 – 20XY + 25Y2- (2x – 5Y) (2x – 5Y) = (2x – 5Y)2 V. 16 + 40X2 + 25X4 = + 5×2) (4 + 5×2) = (4 + 5X2)2 9b2 – 30a2b + 25a4 = (3b – 5a2) (3b – 5a2) (35 – 5a2)2 400×10 + 1 = (20 1) 1) = (20 CASO CUATRO DIFERENCIA DE CUADRADOS Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el Slgno menos.

Se resuelve por medio de dos aréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. EJEMPLO 1: gy2-4×2= (3Y-2x) (3Y+2x) La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas. Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es c Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del Sustraendo (a + b – c) EJEMPLO n: 1 4×2 – (x +Y)2 [2x+(x+Y)] * [2x-(x Y)] 4×2 – (x + yp –

CASO S TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

EJEMPLOS 1 b2 954 + 8a2 52 + 954 + 4a2 b2 4a2 b2 4a4 +12üb2 + 9b4- 4a2b2 = (4aa 12a2 b2 + 954) – aa2b2 31_1f8 (4a4 + 12a2 b2 9b4) – 4a 4a2 b2 (2a2 + 3b2)2 – b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab] * [(2a2 + 3b2) – 2ab] (2a2 + 3b2)2 – 4a2 b2 [2a2 + 352 + 2ab] * [2a2 + 352 – 2ab] 4a4 + + [2a2 + 2ab + 3b2] [2a2 – 2ab + 3b2] CASO 6 TRINOMIO DE LA FORMA + + c Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como n + 5x+6 m2 + 5m — 14 Que cumplen las condiciones siguientes: • El coeficiente del primer término es 1 • El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. ?? El segundo término tiene la misma letra que el primero con xponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. • El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa CASO ESPECIAL DEL CASO 6 El procedimiento anterior es aplicable a la factorización de trinomio que siendo de la forma x2+bx+c difieren algo de los estudiados anteriormente.

Ejemplo: X4-5X2-50 5C -24 = (C + 8) * (C – 3) CASO 7 TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c: El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una etra cualquiera elevada al cuadrado. El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.

Ejemplo 1 6×2 -7x -3 1) Se multiplica el coeficiente del primer término» 6″ por todo el trinomio, dejando el producto del 2 término indicado: 5(6X2 -7x +3) =36X2 -6(7X) -18 2) Se ordena tomando en cuenta que 36×2 = (6x)2 y 6(-7x) – -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x) 2 -7(6x) -18 ) Luego se procede a factorar (6x) 2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI.

Con una variante que se explica en el Inciso 60 4) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ ) 5) Se buscan dos números cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 esos números son -9 y +2 porque: -9+2 -7 y (-9) (2) = -18- 6) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre»6″ / 6; como ning entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre»6″ 6x-9)(6x+2) / 6; como ninguno de los binomios es divisible entre «6» entonces descomponemos el «6′ en dos factores (3y2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro.

Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2, y estos cocientes quedarían así: (2x-3) (3X+1) CASOS ESPECIALES EJEMPLO 1 : 20x’0 +7x -6 (4X+3) (5x-2) 3×2 + 8x – 35 = (3x – 7) (x + 5) 8. + – 1852 – 2b) (a – b) 9. 4×2 +17x -15 (4x- 5) 10. 15* + 2) (3x- l) CASO 8 CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que: (a+b)3 a2 +3a 2 b+3 a b 2 +b3 y (a-b)3 a2-3a 2 b+3ab 2 – b3 La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio, tiene que cumpli lo siguiente: 1 . Tener cuatro términos. 2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos. 3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término. 4.

Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la espuesta de la expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su prime positivos, la respuesta de la expresión dada será la suma de sus raices cúbicas de su primer y último término, y si los términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas ralces. 1) 8a3 -36a2b+54ab2-27b3 La raíz cúbica de 8a3 es 2a La raíz cúbica de 27b3es 3b 3(2 a)2(3b) — 36a2 b, segundo término 3(2 a) (3b)2 – 54ab2, tercer término Y como los términos son alternativamente positivos y negativo, la expresón dada es el cubo de: R. -3b)3 CASO g SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Pasos para resolver el ejercicio: 1. Descomponemos en dos factores. 2. En el prmer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos. 3.

En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz. La fórmula (1) nos dice: REGLA 1 la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos actores: a suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. a3 =(a+b) (a2- ab+b2) La fórmula (2) nos dice: (a2-ab+b2) REGLA 2 La diferencla de dos cubos perfectos se descompone en dos 1 La diferencia de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raiz. 3 – b3 =G-b) G2+ab+b2) EJEMPLO I 27×3 + 125 y9 (3x+5y3) (9×2-15x y3+2Sy6) a3 + 27 (a+3) (a2- 3a+ 9) -27 = (X -3) (X2- 3X+ 9) CASO 10 SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES Procedimiento. Se apllcan los siguientes criterios: Criterios de divisibilidad de expresiones de la forma an + – bn Criterio 1: an – bn es divisible por a – b siendo n par o impar Criterio 2: an — bn es divisible por a + b siendo n impar Criterio 3: an – bn es divisible por a + b siendo n es par Criterio 4: an + bn nunca es divisible por a- b Pasos para resolver la suma de dos potencias iguales Factorar x5 +32 1 . – Encontramos la raíz quinta de los términos: Raíz quinta de x5 — x; raiz quinta de 32 = 2 2. – Formamos el primer factor con las raíces: (x *2) 3. – Formamos el segundo f 81_1f8