Cálculo I Parcial 1 Sem 1 2015 Resuelto

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERIA Departamento de Matemática Aplicada Cálculo 18/04/2015 Primer examen parcial (20%) Nombre y Apellido: Sección: CI: 1. Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. n 3-1 OF5 2 -50+6 p Factorizando: 20 Para evaluar los signos, se ve que valor toma cada factor en la vecindad de los valores donde se anula. Como n 2 + n + 1 no se anula para ningún número real, se verifica que es positivo siempre.

Por esta razón sólo se tomarán en cuenta el resto de los factores. Matemática Aplicada Entonces, tenemos 3 casos a considerar: 4 — [J) + (l — 20) S 4 -30 s-l Entonces el conjunto que satisface es ( [1/3, 1/2) b) Si a E [1/2,4] Entonces el conjunto que satisface es: [1/2 , 4] n (0-4) Entonces el conjunto que satisface es: (4 , n (— La solución final será la unión de los 3 casos: [1/3 , 1/2) u [1/2 , 1] 2. Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (O , 3) y que equidistan de los puntos (—1 , 5) y (7 , 3).

Tenemos que la ecuación general de una recta es: CJ = DC] + O. Si la misma pasa por el punto (O , 3), entonces la recta será: 32 0-3 ylare 2 uego: si equidista de los p -00+0 , 5) 02 (7 , 3) entonces, ntonces: Y las rectas: 3. Determine la ecuación de la elipse que tiene centro en A un foco en By un vértice en C, donde: a) A es el vértice de la parábola: C] 2— 20 — Cl +2 = 0. b) B es el centro de la circunferencia: 22 2 20 2 – 4C] – 9 = O. c) C es el foco de menor ordenada de la hipérbola: -LI 2 + 30 2 + 20-6C] -1 -O.

Procederemos a hallar las coordenadas de los puntos A, By C respectivamente: De la parábola: n 2 — (112 20 l)-n 3 -2-1 3 02=1 02=3 Los focos son: 21 ordenada es 02 , entonces: 02 nnnnnnn , -n) —1 como el de menor Con los puntos obtenidos se puede notar que la elipse tiene eje rincipal vertical, por lo que la ecuación es de la forma: Donde: 02 Siendo la ecuación de la elipse: 18,’04/2015 4DF5 -6) Entonces la parábola abre hacia abajo y tiene ecuación de la forma: Donde: el Vértice es 0 – Directriz.

Foco • , ü) ; Directriz: C] = 0+2; Foco C] Ahora, la recta paralela a la directriz que pasa por el foco es la recta C] = 5. Intersectando la recta con la parábola tenemos: (Ü + = -4<5-6) = 1 02 —3 y se tienen los puntos de intersección: Donde: n 1 0) Con los puntos n, se puede entonces calcular el baricentro con: _1+1_36+5+5 5