By APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIAL PARA UN PROBLEMA DE INGENIERÍA REAL JUAN PABLO FONSECA RODRÍGUEZ JUAN DAVID JIMENEZ CASTRO JHON STIVEN DÍAZ GARCÍA PILAR HERNÁNDEZ MORENO ANTEPROYECTO p Director: Héller Sánchez UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AMBIENTAL BOGOTÁ 8 DE ABRIL DE 2014 ABLA DE CONTENIDO problema de ingeniería real con base en herramientas como software, sensores de movimiento y bibliografía. OBJETIVOS 1 Objetivo General Validar el proyecto implementando la ecuación diferencial de caída libre tomando en cuenta como variable la resistencia del ire con el fin de analizar cómo ésta afecta la velocidad de caída de un objeto. 2 Objetivos Especflcos Obtener datos experimentales de velocidad con ayuda del Equipo de Calda libre para una mayor precisión..
Determinar como la velocidad del cuerpo que cae es afectada por la resistencia del aire. 3 DESCRIPCION DEL PROBLEMA Una de las aplicaciones más importante de las ecuaciones diferenciales es el moldeamiento matemático y solución de problemas. En este caso plantamos una ecuación diferencial ara encontrar la posición aplicada al movimiento de 2 e un objeto durante la tra por la aceleración es igual al peso del cuerpo que está en movimiento.
Recordemos que la aceleración puede ser expresada de manera diferencial como la variación de la velocidad con el tiempo, es decir: y la velocidad a su vez, es la variación de la posición con el si se relacionan estas dos cantidades, o sea que se deriva la velocidad con respecto al tiempo, se obtiene una expresión de este estilo: Que es lo mismo que tener la segunda derivada de Y con respecto al tiempo: Si se sustituye esta expresión en la ecuación de fuerzas de
Newton, se obtiene la siguiente ecuación diferencial: Para que esta ecuación diferencial sea resuelta, se necesitan de condiciones iníciales, en este caso podemos decir, que las condiciones iníciales de este modelo son dos y son las siguientes: La primera condición inicial es que la posición inicial del cuerpo en el tiempo cero es igual a la altura del edificio: la segunda condición es que la velocidad del cuerpo en el tiempo cero es igual a la velocidad inicial que le demos al cuerpo: Y(O)- Vo.
Si simplificamos la ecuación diferencial tenemos simplemente ue Y’=-g y se puede resolver fácilmente por separación de variables para llegar a VO*C2. o después a que y:- 3 datos más verdaderos se procederá a realizar una maqueta en la cual se va a demostrar lo mismo solo que en esta se medirá con sensores de movimiento. JUSTIFICACION INICIAL O PRELIMINAR Es evidente que los fenómenos de calda libre que se presentan en la mayoría de las condiciones reales, no corresponden al modelo inicialmente planteado. Con el desarrollo satisfactorio del proyecto se lograran resultados más óptimos al hacer estos álculos, donde sea necesaria la mayor precisión posible.
El proyecto es experimental, donde quienes realizan el trabajo se basan en cálculos y herramientas auxiliares como softwares y documentos con la información necesaria para la realización viable y sobre todo, validable de la información obtenida. 5 METODOLOGIA ue describe el fenómeno Inicialmente se encuentra I 4 7 que se va a estudiar, a esta diante la búsqueda en planteado en seguida se procederá hacer lo mismo en un software para tener un perspectiva más técnica de lo que se va a realizar.
Se darán conclusiones a los 3 métodos planteados, como ingenieras predecimos que no tiene que haber tanta diferencia en los datos arrojados por el modelo matemático ya propuestos utilizando la resistencia del aire y no utilizando, si esto es así se procederá a dar una respuesta de porque esto no sucede y al final concluiremos con cual se obtuvo la posición más adecuada de donde llegara a caer el objeto 1. MARCO REFERENCIAL Desde Galileo sabemos que en todas las hipótesis la velocidad de caída es la misma.
Aproximadamente, si prescindimos de la resistencia del aire. ero si la tomamos en consideración, la piedra de 10 kg cae más aprisa que una de 1 kg, pues dicha resistencia es comparativamente mayor en ésta. Vamos a responder a la pregunta de Arquímedes. Estudiando antes el movimiento en el seno del aire, suponiendo que la resistencia de éste es proporcional al cuadrado de la velocidad: F = -kv2 Donde es k = fkWS, siendo 5 f: factor de forma.
P rficie plana, f- 1, para una resistencia del aire. A partir de entonces, el cuerpo caerá con una «velocidad límite» uniforme, que vale: La Integración de la anterior ecuación diferencial conduce a las xpreslones: Donde ch, th son las razones trigonométricas coseno hiperbólico y tangente hiperbólica, y log es el logaritmo neperiano. De ahí pueden calcularse fácilmente los distintos recorridos.
Y ahora viene la triple respuesta: a) Si sustituimos las dos esferas por una sola de la misma masa conjunta, ésta caerá más deprisa. Pero Arquímedes hablaba de atar las dos esferas. Y entonces la cuestión es distinta: bl) Si las dos esferas caen presentando al aire su máxima superficie, caerán más lentamente que la de 10 kg, y más deprisa que la de 1 kg. 2) Pero si caen de forma que la de 10 kg vaya al frente, el conjunto caerá más deprisa que ésta sola.
De hecho, ¿qué ocurrirá en la realidad? Aunque inicialmente la caída se produjera según (bl), la fuerza de resistencia del aire formarla un par de fuerzas que tendería a verticalizar el conjunto (como en una bomba de aviación arrojada por un avión), de manera que pronto éste caería según (52). por tanto, la respuesta es siempre que el conjunto cae más aprisa. agosto septiembre octubre noviembre Investigación bibliográfica preliminar Consulta al director del pr
