ANALISIS MAT II

Lecciones de An alisis Matem • atico II Gabriel Vera 27 de octubre de 2008 Indice general ologo 1. Preliminares sobre funciones de varias variables . Introducci ‘on . 1. 2. Funciones de una variable 1. 3. Funciones de var 96 1. 4. Coordenadas cu Svipe nextp 5. Ejercicios propue continuidad Definiciones y resultados b’ asicas 3. 1 Reglas para obtener el l’ Imite y la continuidad 3. 2. 3. 3. Funciones continuas en conjuntos compactos . 3. 4. Espacios normados de dimensi on finita . 3. 5. Continuidad uniforme . 3. 6. Convergencia uniforme . . 3. 7. Ejercicios resueltos . . Ejercicios propuestos . 4. Funciones vectoriales de una variable 4. 1 . Derivada de una funci’ on vectorial . 4. 2. Desarrollo de Taylor 4. 3. Integral de una funci on vectorial . 4. 4. Caminos rectificables . 4. 5. Integral respecto al arco .. 4. 6. Ejercicios resueltos 4. 7. Ejercicios propuestos . 2 DF 896 lisis Matema ‘tico II Lecciones de Ana 5. Funciones diferenciables 5. 1. Derivada seg un un vector 5. 2. Aplicaciones diferenciables , 5. 3. Las reglas del c • alculo diferencial 5. 4. Gradiente 5. 5. Espacio tangente . 5. 6. Ejercicios resueltos . 5. 7.

Ejercicios propuestos 3 DF 896 diferenciables m veces . . 7. 2. Desarrollo de Taylor . 7. 3. Serie de Taylor de una funci’ on de clase C 7. 4. F’ ormula integral para el resto . 7. 5. Ejercicios resueltos . 7. 6. 4 DF 896 9. 2. Extremos condicionados 9. 3. Ejercicios resueltos 9. 4. 5 DF 896 dependientes 12. 1. Integrales impropias 12. 2. Paso al l’ Imite bajo la integral 12. 3. Ejercicios resueltos . 12. 4. Ejercicios propuestos . de par’ ametro 299 DF 896 param etricas k-dimensionales 14. 6. Ejercicios resueltos 14. 7. Ejercicios propuestos . DF 896 cap Itulo 3 407 C. I.

Intercambio de limites C. 2. Convergencia uniforme de series de funciones vectoriales . tico II 412 G. Vera D. Integraci’ on de funciones vectoriales 415 D. 1 Integraci ‘ on de funciones regladas D. 2. Definici’ on general de la integral de Riemann . 418 E. Complementos sobre diferenciabilidad E. 1. Caracterizaci ‘ on de las funciones de clase C 1 . E. 2. La definici’on general de diferencial segunda . . E. 3. Teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas mixtas 423 . 423 424 . 426 F. Funciones convexas 428 F. l . Caracterizaci ‘on de la nvexas de una 8 DF 896 variable 428 . 47 H. 3. Subvariedades orientables . l. Extremos y formas cuadr’ aticas . 1 . Extremos y formas cuadr aticas 453 J. Cambio de variable en la integral de Riemann 458 Preliminares…. ….. ….. ……….. J. 2. La demostraci on del teorema de cambio de K. Formas diferenciales 473 K. l. Producto mixto y producto vectorial . K. 2. Formas multilineales alternadas K. 3. Formas diferenciales pr’ . 450 . . 458 . 473 479 485 El material que se ofrece en este texto es fruto de una larga experiencia docente ense – nando esta materia en la Facultad de Matem ‘ aticas de la

Universidad de Murcia. Contiene, adem as de los contenidos b • ascos de la asignatura, otro material complementario que en alguna ocasi ‘ on ha sido expuesto o entregado por escrito a los alumnos. Por esta raz on, el temano desarrollado en estas Lecciones est ‘ a adaptado y cubre lo que habitualmente se ense – na en la Facultad de Mate g DF 896 Universidad, aunque exce uede ense- Matem aticas de esta Universidad, aunque excede lo que se puede ense- nar durante un curso acad emico.

Para solventar esta dificultad aquellos temas que se pueden onsiderar de car acter complementario o m as avanzado, han sido incluidos en ap ‘ endices independientes al final del texto. All’l el estudiante interesado podr’ a ampliar y estudiar con mayor profundidad algunos de los temas propios de la asignatura. A lo largo del texto se exponen con detalle ejemplos que ilustran y aclaran los conceptos te oricos nuevos. Cada cap Itulo termina con un repertorio de problemas resueltos donde se analizan comentan y ense nan diferentes estrategias para abordarlos, seguido de un amplio repertorio de problemas propuestos. r su enfoque, por el amplio repertorio de problemas resueltos, y por los temas complementarios incluidos, estas Lecciones puedan interesar no s olo a los estudiantes de Matem aticas que quieran profundizar en los asuntos propios del An alisis Matem ‘ atico II, sino a profesores j’ ovenes que comiencen a ense- nar de esta materia. Esperamos que tambi en sean u tiles a estudiantes de otras titulaciones, de car acter cient ‘ Ifico, que estudien, en universidades de habla hispana, el c alculo diferencial e integral para funciones de varias variables. Los conocimientos previos asumidos al redactar