By Álgebra: Cónicas y Cuádricas Antonio Garvín curso 05/06 Las cónicas y las cuádricas responden a un modelo general, son basicamente polinomios de grado en dos y en tres variables. Como todos los polinomios de grado dos en varias variables tienen una parte cuadrática, una parte lineal, y una parte constante. Si se quiere ver así, es suma de una forma cuadrática y de una forma afín. Se pueden expresar por tanto como SECCIONES COMCAS Las tres secciones cónicas son: elipse, parábola e hipérbola. La circunferencia es un caso particular de elipse.
Se denomina ección conica (o sim lemente canica a la curva intersección de p un cono con un plan Se clasifican en tres t La elipse es el lugar g la suma de las distan s: el hipérbolas. del plano tales que mados focos es constante. Además de los focos F y F’ , en una elipse destacan los siguientes elementos: • Centro, 0• Eje mayor, AA•• Eje menor, BB ‘ • Distancia focal, OFLa elipse tiene la siguiente expresión algebraica: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos as[ntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja ha hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:• Centro, 0• Vértices, Ay A• Distancia entre los vértices• Distancia entre los focos -La ecuación de una hipérbola con centro (O, O), es: La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:• Eje, e• Vértice, V• Distancia de F a d, p. Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación: La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menachmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto». Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas amas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc MARTES, 24 DE NOVIEMBRE DE 2009 Funciones conicas. Elipse Si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono, entonces la cun,’a formada por la intersección se llama elipse.
Esta es una imagen de un elipse: ELIPSE La elipse es el lugar geométri intersección se llama elipse. La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva. Una elipse es la curva cerrada que resulta l cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría -con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menorgenera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es: Donde a y b > O son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF’]. La distancia entre los focos FF’ se llama istancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (XI, yl), la ecuación es: En coordenadas polares una elipse (centrada en uno de sus focos) viene definida por la ecuación: La ecuación paramétrica de una elipse es: Con , y donde el ángulo e se puede Interpretar como el ángulo polar. Parábola Si un plamo corta a uno de los mantos de un cono pero no lo cruza, y además no tiene contacto con el otro, entonces la curva formada por la intersección se llama parábola. esta es una imagen de una p 3 a curva formada por la intersección se llama parábola. sta es una imagen de una parábola: LA PARABOLA La parábola es una sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la parábola como un lugar geométrico:Una parábola es el lugar geométrico de los puntos quidistantes de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco.
EJEMPLOS:Dada la ecuación de la parábola yA2=24x. Encuentra:Las coordenadas del foco. La ecuación de la directriz. La longitud del lado recto. Las coordenadas de los extremos del lado recto. 4a=24A=24/4A=6F= (a,O) x+a=O LR=4a (a, 2a) (6,0) X+6=o (6,12) (6,-12)Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es y el foco (x-2)Y2+2Y+1 = 12x-24 Hipérbola Si un plano corta a los dos mantos de un cono, la curva formada por la intersección se nombre hipérbola. esta es una imagen de hipérbola:
LA HIPERBOLA Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría -con ángulo menor que el de la ge al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría – con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los vértices.
Ecuaciones en coordenadas artesianas:Ecuación de una hiperbola con centro en el origen de coordenadas -y2/b2 =1 Ecuación de una hipérbola con centro en el punto -(y-k)2/b2 -1 Circunferencia Si el plano corta perpendicularmente al eje de un cono se obtiene una circunferencia. Cuádricas La ecuación general de una cuádrica es En términos matriciales Entre los tipos que podemos encontrar de cuádricas podemos destacar los paraboloides, elipsoides, e hiperboloides. Estas son cuádricas no degeneradas.
Algunos tipos básicos Elipsoide 5 http://www. inba. cl/pdffmatematicas/funcioncuadratica. pdf http://www. aularagon. rg/files/espa/ON_Line/matematicas ‘CMMC5F-unciones/CMMC7compIementarias_3. htm Función cuadrática una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax2 bx+ c donde a, by c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero).
El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. ax2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o uadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.
Representación gráfica de una función cuadrática Si pudiésemos representar en una gráfica «todos» los puntos de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábol Como contrapartida, direm arábola es la concavidad (ramas o brazos) Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces) Punto de corte con el eje de ordenadas Eje de simetría Vértice Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2): Si a > O (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) 2×2 — 3x — 5 Si a < O (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = —3x2 + 2x+ 3 Además, cuanto mayor sea lal (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática es la expresión vale 0; es son aquellos valores de x decir, los valores de x tales ue es lo mismo que f(x) – la ecuación axz + bx +c = O posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar as propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula: Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos: Que corte al eje X en dos puntos distintos Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) Que no corte al eje X Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas. Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas Ver: PSU: Matemática; pregunta 34_2010 Pregunta 18_2006 Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos: Representar la función (x) = x2 — 4x+ 3 El eje de las ordenadas (Y) está cortado en *3 Representar la función f(x) = x2 — 4x — 3 El eje de las ordenadas (Y) está cortado en —3 Observar que la parábola s’ rá al eje de las ordenadas 8 (Y), pero como ya vimos m ie de abscisas (X) puede simetría Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría. El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes.
Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola. Su ecuación está dada por: Donde XI y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola. De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola: Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante) http://www. profesorenlinea. cl/matematica/funcion_cuadratica . html Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función contin e dicha familia, que mejor g se aproxime a los datos (u te»), de acuerdo con el
