By 295 Aguirre gy Rancho-3. ‘b I 14, 2016 18 pagcs La representación fasorial de la potencia en circuitos AC monofásicos G. Aguirre-Zamalloa1, N. Vidal-Lekue2 Departamento de Ingeniería Eléctrica ETSIB, Universidad del País Vasco 2 Departamento de Electricidad y Electrónica Facultad de Ciencia y Tecnología, Universidad del País Vasco ¿Crees que los que están así han visto otra cosa sno las sombras proyectadas por el fuego sobre la pared de la caverna que está frente a ellos?
Entonces no hay duda -dije- de que tales hombres no tendrán por real ninguna otra cosa más que las sombras de los bjetos… Platón, Libro VII de La República Resumen Se define la potencia reactiva instantánea q(t) para circuitos AC monofásicos en régimen permanente. Esto permite obtener la potencia compleja instantánea s=p+jq, la cual admite a su vez una interpretación fasorial extremadamente útil que se estudia con cierto detalle. A continuación proponemos una generalización de estas magnitudes instantáneas para el caso transitorio por medio de los vectores espirales de Yamamura.
Otra ventaja decisiva de los fasores reside en su interpretación geométrica directa: los diagramas fasoriales que muestran as relaciones entre corrientes y tensiones son herramientas de representación muy comunes y útiles. En la actualidad estas representaciones gráficas ya no se emplean como herramientas de cálculo sino como recursos mnemónicos, cualitativos, que permiten captar inmediatamente relaciones entre varias cantidades de manera mucho más directa que mediante una ecuación algebraica, por ejemplo.
Aunque la representación fasorial de señales sinusoidales puras (ondas de tensión, corriente, fuerzas magnetomotrices, etc. ) es trivial, hay otras magnitudes eléctricas de gran importancia que aparentemente no la dmiten, como la potencia por ejemplo. Es indudablemente cierto que la potencia instantánea absorbida por un dipolo eléctrico p (t) u (t) ) por ser el producto de dos señales monocromáticas presenta naturalmente la mezcla de frecuencias (función heterodina): 2 n sin 01 sin n n 2)tn no por lo que no puede ser representada por medio de un fasor estándar.
No obstante, en este trabajo nos proponemos demostrar que para el caso CII C] 02 Cl Ü si que puede obtenerse una n cuasi-fasorial por 8 medio de fasores «excéntri s que esta conceptos de potencia activa y reactiva instantáneas para l análisis del problema de la transmisión de potencia en sistemas trifásicos, empleándolo en concreto para demostrar las posibilidades de mejora de rendimiento y compensación mediante elementos no almacenadores de energía.
A partir de ese momento varios otros grupos han trabajado sobre el mismo tema, ampliando y generalizando los conceptos y herramientas, por lo que se ha generado una abundante bibliograf(a [3-4]. Mencionemos brevemente que según estos autores la potencia activa instantánea (en adelante PAI) para sistemas trifásicos AC se define como: p (t) C] u (t ) C] ) y l vector potencia reactiva instantánea se define como: donde cui u2 (t 12 i3 (t . con toda lógica se define la potencia reactiva instantánea (PRI) como el módulo del vector PRI.
Estas definiciones, sin embargo, no son completamente trasladables al caso monofásico. Así, aunque la definición de PAI es la correcta: p (t) u (t) C] i(t) , la PRI resulta idénticamente nul cual no puede ser cierto en general. A nosot sta que ninguna a generalizar inmediatamente al régimen transitorio. En este trabajo no nos volveremos a ocupar de las potencias trifásicas. Sin embargo, con respecto a esta uestión no queremos dejar pasar la ocasión de comentar un prometedor desarrollo del formalismo matemático que en el futuro podría muy bien ser la vía para la unificación y generalización de estos conceptos.
Nos estamos refiriendo al «álgebra geométrica» (AG) que es un formalismo que abarca, generaliza y simplifica el cálculo de matrices, de números complejos, de cuaterniones y de espinares por ejemplo y que tuvo su origen en los trabajos de los matemáticos Grassman y Clifford Como ilustración señalemos que en AG se define un «nuevo» producto de vectores, el producto geométrico: b Da Dj a Cl b donde «0» indica el producto «exterior» y » j’ es el pseudoescalar del álgebra, que es tal que j C] 01 .
La suma de escalares y vectores (multivectores) no solamente es posible, sino que es inmensamente beneficiosa; así, por ejemplo, el producto geométrico de los vectores tensión y corriente trifásicos nos da automáticamente el (multivector) potencia. Entre las bondades del producto geométrico destacaremos que es generalizable a cualquier dimensión e invertible, por lo que se nos va a permitir idividir entre vectores!
Aunque a prmera vista la expresión (2) parezca Incorrecta la ealidad es que, y esto puede ser una auténtica sorpresa para algunos, la estamos empleando continuamente al manejar números complejos (dimensión 2); así, 40F 18 continuamente al ab D ja2 D jb2 albi 0 alb2 (3) es esencialmente equivalente a (2). Este artículo está estructurado de la manera siguiente: después de esta introducción definimos la PRI monofásica q (t ) en el régimen permanente en la sección 2. Este es el resultado central del trabajo por lo que dedicamos el resto de la sección a su justificación y a demostrar sus principales propiedades.
En la sección 3 resentamos con cierto detalle el diagrama fasorial de las potencias y damos algún ejemplo, siempre en régimen permanente. La sección 4 introduce brevemente el formalismo de los vectores espirales AC de Yamamura. En la sección 5 elaboramos una redefinición de las PAI y PRI en términos de vectores espirales para poder generalizar estos resultados al régimen transitorio, y se presentan algunos ejemplos más. En la sección 6 se elaboran las más importantes conclusiones. 2. Definiciones en régimen AC permanente En ese apartado analizamos el régimen permanente de circuitos alternos inusoidales monofásicos.
Establezcamos en primer lugar la notación con toda claridad. Las letras minúsculas, con o sin dependencia temporal explícita denotan valores instantáneos mientras que las mayúsculas indica tantes. Los s[mbolos subrayados son no lo están son i (t), u Cu (t ) son funciones periódicas de periodo T C] 20 i C] Ren i C] . Finalmente resulta muy conveniente introducir las siguientes abreviaturas: 4 Recordemos que por definición la potencia compleja consumida por un dipolo es S O U P C] jQ , donde P es la potencia promedio (potencia activa) absorbida que vale PC] pan Re U l.
Esta última expresión naturalmente nos invita a examinar la función de correlación cruzada entre corriente y tensión: 60F 18 P cos o Q sin dimensionalmente homogénea a una potencia. 2. Tal y como se ha demostrado C] (t) C Q , donde Q denota la potencia reactiva absorbida por el circuito. y por lo tanto: Cl L C] QL C] 2C] wL La continuidad de la función il_ conlleva la de wL (y por consiguiente la de wL ) lo que implica que Ü L es El teorema Tellegen [6] garantiza que también continua; sin embargo u L (y por tanto p L ) pueden presentar discontinuidades finitas. onde R indica el número total de ramas del circuito.
De la combinación de las propiedades 2 y 3 resulta una prueba de la parte imaginaria del teorema de Boucherot [6]. Además, al verificarse las relaciones siguientes: TCI lo que su momento angular se conservaría: Mediante un razonamiento dual al del apartado 4, podemos llegar a la conclusión de que el área limitada por la curva cerrada descrita en el plano Di, u[::] (y medida con un osciloscopio digital) es P, la potencia activa: PC] u iOOLlidtC] dt 0C] TC]Odt 20 n La expresión de las funciones auxiliares n (t ) para los iferentes elementos ideales es muy convincente: 6.
Id Resistencia: R i i tl Una resistencia no impon io de continuidad. ui jui o s Dun Rem i II n ju (11) OlmiCls0uC]i Esta expresión que generaliza lindamente la ecuación S U es también algo sorprendente por su fa ta de simetría, pero téngase en cuenta que la aparentemente más intuitiva definición s Cl u [l (? ) no es en absoluto correcta Ges una constante compleja! ).
La ecuación (11) indica que la potencia compleja instantánea s es un auténtico ‘fasor’ cuya extremidad describe una circunferencia en el sentido de las agujas del reloj (la orriente está conjugada) en el plano C] p, q Cl con centro en S astlpnjnqnp n j n Q , radio Sy periodo ser la distancia del origen al centro igual al radio, la circunferencia pasa por el origen o pivota en el origen y las llamaremos CPO para abreviar. Este es el primer resultado básico del trabajo.
A partir de este punto debemos interpretarlo e ilustrarlo antes de poder generalizarlo al régimen transitorio. Para fijar las ideas vamos a concentrarnos en el análisis de circuitos sencillos. En la Figura 1 puede apreciarse claramente como esta construcción g Iquece el riángulo de potencias clás potencias s R consumida por R, s L consumida por Ly la total s RI- Ü s R ü s L para un circuito RL serie simple. En cada instante la proyección sobre el eje p nos indica la potencia instantánea absorbida por cada elemento.
Además, la superficie coloreada corresponde al intervalo durante el cual el circuito devuelve potencia a la fuente. En este ejemplo hemos puesto s RL C] 0 en t C] O Para obtener el máximo partido de la representación conviene familiarizarse con la estructura geométrica del diagrama. En la Tabla 1 hemos indicado las coordenadas e los puntos singulares, es decir de los puntos de intersección de las circunferencias y en la Figura 3 los hemos representado (se trata del mismo caso sencillo de un circuito RI_).
Hay que advertir sin demora que intersección no quiere necesariamente decir coincidencia o encuentro simultáneo; las condiciones de coincidencia las vamos a estudiar más adelante. Dos puntos opuestos por un diámetro en cualquiera de los CPO están separados en el tiempo por segundos. Figura 1: Triángulo de potencias, fasor potencia y potencia activa instantánea Tabla 1: Puntos singulares del diagrama fasorial RL 020,0 c op,QC]
